कक्षा 11 गणित के लिए NCERT समाधान: अध्याय 1 - समुच्चय

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 1 'समुच्चय' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें समुच्चय की मूल अवधारणाओं, सुपरिभाषित संग्रहों की पहचान, और तत्वों की सदस्यता को दर्शाने के लिए ∈ और ∉ प्रतीकों के उपयोग को समझाया गया है। समाधान रोस्टर रूप (जैसे {1, 2, 3}) और समुच्चय निर्माण रूप (जैसे {x: x एक प्राकृत संख्या है और 3 < x < 7}) दोनों में समुच्चयों को प्रस्तुत करने के तरीके पर मार्गदर्शन प्रदान करते हैं। यह अध्याय छात्रों को विभिन्न प्रकार के समुच्चयों को पहचानने और उन्हें विभिन्न रूपों में व्यक्त करने में मदद करता है, जो परीक्षा की तैयारी के लिए महत्वपूर्ण है।

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter1. सम्मुच्य

Chapter summary

कक्षा 11 गणित के अध्याय 1 'समुच्चय' के लिए NCERT समाधान छात्रों को समुच्चय सिद्धांत की बुनियादी बातों से परिचित कराते हैं। यह अध्याय सुपरिभाषित संग्रहों की पहचान करने, ∈ और ∉ प्रतीकों का उपयोग करके तत्वों की सदस्यता को दर्शाने, और समुच्चयों को रोस्टर रूप और समुच्चय निर्माण रूप में लिखने का तरीका सिखाता है। समाधानों में विभिन्न उदाहरणों को हल किया गया है, जो इन अवधारणाओं को स्पष्ट करते हैं।

Learning outcomes

  • समुच्चय की परिभाषा को समझना और सुपरिभाषित संग्रहों की पहचान करना।
  • तत्वों की सदस्यता को दर्शाने के लिए ∈ और ∉ प्रतीकों का सही उपयोग करना।
  • दिए गए समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखना।
  • दिए गए समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त करना।
  • विभिन्न प्रकार के समुच्चयों के उदाहरणों को हल करना।

Topics covered

Paper topics

  • समुच्चय की परिभाषा
  • सुपरिभाषित संग्रह
  • समुच्चय के उदाहरण
  • सदस्यता प्रतीक (∈ और ∉)
  • रोस्टर रूप
  • समुच्चय निर्माण रूप
  • प्राकृत संख्याएँ
  • पूर्णांक
  • सम संख्याएँ
  • अभाज्य संख्याएँ
  • शब्दों के अक्षरों के समुच्चय

Important topics

  • समुच्चय की परिभाषा और सुपरिभाषित संग्रह की पहचान
  • रोस्टर रूप और समुच्चय निर्माण रूप के बीच रूपांतरण
  • सदस्यता प्रतीक (∈ और ∉) का सही उपयोग
  • शब्दों के अक्षरों से समुच्चय बनाना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

निम्नलिखित में कौन-से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
  1. J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
  2. भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
  3. विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह।
  4. आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह।
  5. 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
  6. लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
  7. सभी सम पूर्णांकों का संग्रह।
  8. इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह।
  9. विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
Solution:

एक समुच्चय सुपरिभाषित संग्रह होता है, जिसका अर्थ है कि हम निश्चित रूप से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई वस्तु उस संग्रह में है या नहीं।

  1. J अक्षर से प्रारंभ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से उन महीनों की पहचान कर सकते हैं जो 'J' से शुरू होते हैं (जैसे जनवरी, जून, जुलाई)। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  2. भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह: यह एक समुच्चय नहीं है। 'प्रतिभाशाली' एक व्यक्तिपरक शब्द है, और एक व्यक्ति के लिए जो प्रतिभाशाली है, वह दूसरे के लिए नहीं हो सकता है। इसलिए, यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है।
  3. विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह: यह एक समुच्चय नहीं है। 'सर्वश्रेष्ठ' की परिभाषा व्यक्तिपरक होती है और अलग-अलग लोगों के लिए भिन्न हो सकती है। इसलिए, यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है।
  4. आपकी कक्षा के सभी बालकों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से कक्षा के सभी बालकों की पहचान कर सकते हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  5. 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह: यह एक समुच्चय है। प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं, और 100 से कम सभी प्राकृत संख्याएँ {1, 2, 3, ..., 99} हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  6. लेखक प्रेमचंद द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से उन उपन्यासों की पहचान कर सकते हैं जिन्हें प्रेमचंद ने लिखा है। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  7. सभी सम पूर्णांकों का संग्रह: यह एक समुच्चय है। सम पूर्णांकों को निश्चित रूप से पहचाना जा सकता है (जैसे ..., -4, -2, 0, 2, 4, ...)। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  8. इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह: यह एक समुच्चय है क्योंकि हम निश्चित रूप से उन प्रश्नों की पहचान कर सकते हैं जो इस अध्याय में दिए गए हैं। यह संग्रह सुपरिभाषित है।
  9. विश्व के सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह: यह एक समुच्चय नहीं है। 'खतरनाक' एक व्यक्तिपरक शब्द है और यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किससे पूछ रहे हैं। इसलिए, यह संग्रह सुपरिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2

मान लीजिए A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक ∈ अथवा ∉ भरिए।
  1. 5 ... A
  2. 8 ... A
  3. 0 ... A
  4. 4 ... A
  5. 2 ... A
  6. 10 ... A
Solution:

यहाँ समुच्चय A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} दिया गया है। हमें यह जांचना है कि दिए गए तत्व समुच्चय A के सदस्य हैं या नहीं।

  1. 5 ... A: चूँकि 5 समुच्चय A में मौजूद है, हम लिखते हैं 5 \in A।
  2. 8 ... A: चूँकि 8 समुच्चय A में मौजूद नहीं है, हम लिखते हैं 8 \notin A।
  3. 0 ... A: चूँकि 0 समुच्चय A में मौजूद नहीं है, हम लिखते हैं 0 \notin A।
  4. 4 ... A: चूँकि 4 समुच्चय A में मौजूद है, हम लिखते हैं 4 \in A।
  5. 2 ... A: चूँकि 2 समुच्चय A में मौजूद है, हम लिखते हैं 2 \in A।
  6. 10 ... A: चूँकि 10 समुच्चय A में मौजूद नहीं है, हम लिखते हैं 10 \notin A।

प्रश्न 3

निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए।
  1. A = \{x : x \text{ एक पूर्णांक है और } -3 < x < 7\}
  2. B = \{x: x \text{ संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है }\}
  3. C = \{x : x \text{ दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है।}\}
  4. D = \{x:x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है।}\}
  5. E = \text{TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}
  6. F = \text{BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय}
Solution:

रोस्टर रूप में, हम समुच्चय के सभी तत्वों को सूचीबद्ध करते हैं।

  1. A = \{x : x \text{ एक पूर्णांक है और } -3 < x < 7\} पूर्णांक जो -3 से बड़े और 7 से छोटे हैं, वे हैं -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6। अतः, रोस्टर रूप में A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}।
  2. B = \{x: x \text{ संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है }\} 6 से कम प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 हैं। अतः, रोस्टर रूप में B = \{1, 2, 3, 4, 5\}।
  3. C = \{x : x \text{ दो अंकों की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है।}\} दो अंकों की संख्याएँ जिनके अंकों का योग 8 है: 17 (1+7=8), 26 (2+6=8), 35 (3+5=8), 44 (4+4=8), 53 (5+3=8), 62 (6+2=8), 71 (7+1=8), 80 (8+0=8)। अतः, रोस्टर रूप में C = \{17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80\}।
  4. D = \{x:x \text{ एक अभाज्य संख्या है जो संख्या 60 की भाजक है।}\} 60 के भाजक हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60। इनमें से अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5। अतः, रोस्टर रूप में D = \{2, 3, 5\}।
  5. E = \text{TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय} 'TRIGONOMETRY' शब्द में अक्षर T, R, I, G, O, N, M, E, T, R, Y हैं। समुच्चय में दोहराए गए अक्षरों को केवल एक बार लिखा जाता है। अतः, रोस्टर रूप में E = \{T, R, I, G, O, N, M, E, Y\}।
  6. F = \text{BETTER शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय} 'BETTER' शब्द में अक्षर B, E, T, T, E, R हैं। समुच्चय में दोहराए गए अक्षरों को केवल एक बार लिखा जाता है। अतः, रोस्टर रूप में F = \{B, E, T, R\}।

प्रश्न 4

निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए।
  1. \{ 3, 6, 9, 12\}
  2. \{2, 4, 8, 16, 32\}
  3. \{5, 25, 125, 625\}
  4. \{2, 4, 6, ...\}
  5. \{1, 4, 9, ..., 100\}
Solution:

समुच्चय निर्माण रूप में, हम समुच्चय के तत्वों के गुणधर्म का वर्णन करते हैं।

  1. \{ 3, 6, 9, 12\} इस समुच्चय के तत्व 3 के गुणज हैं और 12 तक हैं। अतः, समुच्चय निर्माण रूप है: \{x : x = 3n, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 4\} या \{x : x \text{ एक प्राकृत संख्या है और } x \text{ संख्या 3 से विभाज्य है तथा } 3 \le x \le 12\}।
  2. \{2, 4, 8, 16, 32\} इस समुच्चय के तत्व 2 की घातें हैं, 2¹ से 2⁵ तक। अतः, समुच्चय निर्माण रूप है: \{x : x = 2^n, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 5\}।
  3. \{5, 25, 125, 625\} इस समुच्चय के तत्व 5 की घातें हैं, 5¹ से 5⁴ तक। अतः, समुच्चय निर्माण रूप है: \{x : x = 5^n, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 4\}।
  4. \{2, 4, 6, ...\} यह समुच्चय सभी सम प्राकृत संख्याओं का है। अतः, समुच्चय निर्माण रूप है: \{x : x \text{ एक सम प्राकृत संख्या है}\} या \{x : x = 2n, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N}\}।
  5. \{1, 4, 9, ..., 100\} इस समुच्चय के तत्व प्राकृत संख्याओं के वर्ग हैं, 1² से 10² तक। अतः, समुच्चय निर्माण रूप है: \{x : x = n^2, \text{ जहाँ } n \in \mathbb{N} \text{ और } 1 \le n \le 10\}।

Common mistakes

  • सुपरिभाषित संग्रह और व्यक्तिगत पसंद पर आधारित संग्रह के बीच अंतर करने में भ्रमित होना।
  • समुच्चय निर्माण रूप में शर्तों को सही ढंग से लागू न कर पाना।
  • रोस्टर रूप में लिखते समय दोहराए गए तत्वों को शामिल करना या छोड़ना।
  • ∈ और ∉ प्रतीकों का गलत उपयोग करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए समुच्चय की परिभाषा और सुपरिभाषित होने की शर्त को याद रखें।
  • रोस्टर रूप और समुच्चय निर्माण रूप के बीच रूपांतरण का अभ्यास करें।
  • ∈ और ∉ प्रतीकों के उपयोग वाले प्रश्नों पर विशेष ध्यान दें।
  • सभी उदाहरणों और प्रश्नावली के प्रश्नों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. निम्नलिखित में से कौन-सा एक सुपरिभाषित समुच्चय है?

Q2. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

Q3. समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} का रोस्टर रूप क्या है?

Q4. समुच्चय {2, 4, 6, 8,...} को समुच्चय निर्माण रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है?

Q5. शब्द 'BETTER' के अक्षरों का समुच्चय क्या है?

Frequently asked questions

कक्षा 11 गणित में 'समुच्चय' अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है?

यह अध्याय गणित की कई अन्य शाखाओं के लिए आधार प्रदान करता है, जैसे कि संबंध और फलन, प्रायिकता, आदि। यह तार्किक सोच और अमूर्त अवधारणाओं को समझने में मदद करता है।

समुच्चय को रोस्टर रूप और समुच्चय निर्माण रूप में लिखने का क्या मतलब है?

रोस्टर रूप में, समुच्चय के सभी तत्वों को सूचीबद्ध किया जाता है (जैसे {1, 2, 3})। समुच्चय निर्माण रूप में, तत्वों के गुणधर्मों का वर्णन करके समुच्चय को परिभाषित किया जाता है (जैसे {x: x एक प्राकृत संख्या है और x < 4})।

मैं कैसे पहचान सकता हूँ कि कोई संग्रह समुच्चय है या नहीं?

एक संग्रह समुच्चय होता है यदि वह 'सुपरिभाषित' हो, जिसका अर्थ है कि हम निश्चित रूप से बता सकते हैं कि कोई वस्तु उस संग्रह में है या नहीं। व्यक्तिगत राय या पसंद पर आधारित संग्रह समुच्चय नहीं होते।

∈ और ∉ प्रतीकों का क्या अर्थ है?

∈ प्रतीक का अर्थ है 'का सदस्य है' (जैसे 5 ∈ A का अर्थ है 5, समुच्चय A का सदस्य है)। ∉ प्रतीक का अर्थ है 'का सदस्य नहीं है' (जैसे 8 ∉ A का अर्थ है 8, समुच्चय A का सदस्य नहीं है)।

क्या इन समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए किया जा सकता है?

हाँ, ये समाधान NCERT पाठ्यपुस्तक के सभी प्रश्नों के हल प्रदान करते हैं और अवधारणाओं को स्पष्ट करने में मदद करते हैं, जो परीक्षा की तैयारी के लिए अत्यंत उपयोगी हैं।

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