कक्षा 12 गणित अध्याय 7 प्रायिकता NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 7, 'प्रायिकता' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें सप्रतिबंध प्रायिकता, प्रायिकता के गुणन नियम और प्रायिकता के योग नियम जैसी महत्वपूर्ण अवधारणाओं को शामिल किया गया है। समाधानों में प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण दिए गए हैं, जिससे छात्रों को जटिल समस्याओं को समझने और हल करने में मदद मिलती है। यह अध्याय विभिन्न घटनाओं की प्रायिकताओं की गणना करने और उनके बीच संबंधों का विश्लेषण करने के तरीकों पर केंद्रित है। ये समाधान छात्रों को परीक्षा की तैयारी में सहायता करने और प्रायिकता की अवधारणाओं की अपनी समझ को मजबूत करने के लिए एक मूल्यवान संसाधन के रूप में काम करते हैं।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित-II
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
ChapterChapter 7

Chapter summary

कक्षा 12 गणित के अध्याय 7 'प्रायिकता' के लिए NCERT समाधान सप्रतिबंध प्रायिकता, प्रायिकता के गुणन नियम और योग नियम जैसी प्रमुख अवधारणाओं को कवर करते हैं। यह अध्याय छात्रों को विभिन्न घटनाओं से जुड़ी प्रायिकताओं की गणना करने और उन्हें समझने में मदद करता है। प्रदान किए गए समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए विस्तृत, चरण-दर-चरण मार्गदर्शन प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को इन महत्वपूर्ण सांख्यिकीय सिद्धांतों में महारत हासिल करने में सहायता मिलती है।

Learning outcomes

  • सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना करना सीखें।
  • प्रायिकता के गुणन नियम को समझें और लागू करें।
  • प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करके समस्याओं को हल करें।
  • दी गई प्रायिकताओं के आधार पर घटनाओं के बीच संबंध का विश्लेषण करें।

Topics covered

Paper topics

  • प्रायिकता की परिभाषा
  • पूरक घटना
  • मिश्र घटना
  • सप्रतिबंध प्रायिकता
  • प्रायिकता का गुणन नियम
  • प्रायिकता का योग नियम
  • यादृच्छिक चर का माध्य
  • यादृच्छिक चर का प्रसरण
  • द्विपद बंटन

Important topics

  • सप्रतिबंध प्रायिकता
  • प्रायिकता का गुणन नियम
  • प्रायिकता का योग नियम
  • P(E/F) और P(F/E) की गणना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E)=0.6, P(F)=0.3 और P(E\cap F)=0.2, तो P(E/F) और P(F/E) ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया है:

P(E) = 0.6

P(F) = 0.3

P(E \cap F) = 0.2

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:

P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}

मान रखने पर:

P(E/F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}

इसी प्रकार,

P(F/E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}

मान रखने पर:

P(F/E) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}

अतः, P(E/F) = \frac{2}{3} और P(F/E) = \frac{1}{3}।

प्रश्न 2

P(A/B) ज्ञात कीजिए कि यदि P(B) = 0.5 और P(A \cap B) = 0.32.
Solution:

दिया गया है:

P(B) = 0.5

P(A \cap B) = 0.32

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:

P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

मान रखने पर:

P(A/B) = \frac{0.32}{0.5}

इस भिन्न को सरल करने पर:

=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}

अतः, P(A/B) = \frac{16}{25} या 0.64।

प्रश्न 3

यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(B/A) = 0.4 ज्ञात कीजिए (i) P(A \cap B) (ii) P(A/B) (iii) P(A \cup B)
Solution:

दिया गया है:

P(A) = 0.8

P(B) = 0.5

P(B/A) = 0.4

(i) P(A \cap B) ज्ञात करने के लिए, हम प्रायिकता के गुणन नियम का उपयोग करते हैं:

P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B/A)

मान रखने पर:

P(A \cap B) = 0.8 \times 0.4 = 0.32

(ii) P(A/B) ज्ञात करने के लिए, हम सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हैं:

P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

मान रखने पर:

P(A/B) = \frac{0.32}{0.5} = \frac{32}{50}

इसे सरल करने पर:

=\frac{16}{25} = 0.64

(iii) P(A \cup B) ज्ञात करने के लिए, हम प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हैं:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

मान रखने पर:

P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32

P(A \cup B) = 1.30 - 0.32 = 0.98

अतः, (i) P(A \cap B) = 0.32, (ii) P(A/B) = 0.64, और (iii) P(A \cup B) = 0.98।

प्रश्न 4

P(A \cup B) ज्ञात कीजिए यदि 2P(A) = P(B) = \frac{5}{13} और P(A/B) = \frac{2}{5}.
Solution:

दिया गया है:

2P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}

P(B) = \frac{5}{13}

P(A/B) = \frac{2}{5}

हम जानते हैं कि P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. इससे हम P(A \cap B) ज्ञात कर सकते हैं:

P(A \cap B) = P(A/B) \times P(B)

P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}

अब, P(A \cup B) ज्ञात करने के लिए प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करें:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

मान रखने पर:

P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}

हर को समान करने पर:

P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26}

P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}

अतः, P(A \cup B) = \frac{11}{26}।

Common mistakes

  • सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र में अंश और हर को गलत तरीके से पहचानना।
  • प्रायिकता के गुणन और योग नियमों को भ्रमित करना।
  • गणनाओं में दशमलव या भिन्न को गलत तरीके से संभालना।

Revision tips

  • प्रत्येक सूत्र को समझने के लिए उसके पीछे के तर्क को याद करें।
  • हल किए गए उदाहरणों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।
  • समान प्रकार की समस्याओं के लिए विभिन्न सूत्रों के अनुप्रयोग का अभ्यास करें।

Practice MCQs

Q1. यदि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2 है, तो P(E/F) का मान क्या है?

Q2. यदि P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32 है, तो P(A/B) का मान क्या है?

Q3. यदि P(A) = 0.8 और P(B/A) = 0.4 है, तो P(A ∩ B) का मान क्या है?

Q4. यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32 है, तो P(A ∪ B) का मान क्या है?

Frequently asked questions

कक्षा 12 गणित के अध्याय 7 में कौन सी मुख्य अवधारणाएँ शामिल हैं?

अध्याय 7 'प्रायिकता' में मुख्य रूप से सप्रतिबंध प्रायिकता, प्रायिकता का गुणन नियम और प्रायिकता का योग नियम जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं।

सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

सप्रतिबंध प्रायिकता, P(A/B), घटना B के घटित होने पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता है, जिसे P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) द्वारा दिया जाता है।

प्रायिकता के गुणन नियम का उपयोग कब किया जाता है?

प्रायिकता का गुणन नियम, P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) या P(A ∩ B) = P(B) * P(A/B), दो घटनाओं के सर्वनिष्ठ की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।

ये NCERT समाधान छात्रों की मदद कैसे करते हैं?

ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को प्रायिकता की अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने और परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयारी करने में मदद मिलती है।

क्या इन समाधानों में सभी प्रकार के प्रायिकता प्रश्नों को शामिल किया गया है?

ये समाधान अध्याय में दिए गए अभ्यासों पर आधारित हैं और सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम और योग नियम जैसे प्रमुख विषयों को कवर करते हैं।

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