कक्षा 12 गणित अध्याय 6 रैखिक प्रोग्रामन के लिए NCERT समाधान

हमें दिए गए अवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z\; =\; 3x\; +\; 4y$ का अधिकतमीकरण करना है।

दिए गए अवरोध हैं:

1. $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$
2. $x\; \backslash ge\; 0$
3. $y\; \backslash ge\; 0$

हम इन असमिकाओं का ग्राफिक निरूपण करेंगे:

1. असमिका $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$ के लिए, हम रेखा $x\; +\; y\; =\; 4$ खींचते हैं। यह रेखा बिंदु $A(4,\; 0)$ (जब $y=0$) और $B(0,\; 4)$ (जब $x=0$) से होकर गुजरती है। मूल बिंदु $(0,\; 0)$ को असमिका में रखने पर, $0\; +\; 0\; \backslash le\; 4$ जो सत्य है। इसलिए, $x\; +\; y\; \backslash le\; 4$ का क्षेत्र रेखा $x\; +\; y\; =\; 4$ और उसके नीचे मूल बिंदु की ओर का क्षेत्र है।
2. असमिका $x\; \backslash ge\; 0$ का क्षेत्र y-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र है, जिसमें y-अक्ष स्वयं भी शामिल है।
3. असमिका $y\; \backslash ge\; 0$ का क्षेत्र x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र है, जिसमें x-अक्ष स्वयं भी शामिल है।

इन सभी अवरोधों से परिबद्ध क्षेत्र एक त्रिभुज $\backslash triangle\; OAB$ है, जिसके कोनीय बिंदु (शीर्ष) $O(0,\; 0)$, $A(4,\; 0)$, और $B(0,\; 4)$ हैं।

अब हम इन कोनीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z\; =\; 3x\; +\; 4y$ का मान ज्ञात करेंगे:

तालिका से स्पष्ट है कि Z का अधिकतम मान 16 है, जो बिंदु $B(0,\; 4)$ पर प्राप्त होता है।

उत्तर: Z का अधिकतम मान 16 है, जो $B(0,\; 4)$ पर प्राप्त होता है।

हमें दिए गए अवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z\; =\; -3x\; +\; 4y$ का न्यूनतमीकरण करना है।

दिए गए अवरोध हैं:

1. $x\; +\; 2y\; \backslash le\; 8$
2. $3x\; +\; 2y\; \backslash le\; 12$
3. $x\; \backslash ge\; 0$
4. $y\; \backslash ge\; 0$

हम इन असमिकाओं का ग्राफिक निरूपण करेंगे:

1. असमिका $x\; +\; 2y\; \backslash le\; 8$ के लिए, हम रेखा $x\; +\; 2y\; =\; 8$ खींचते हैं। यह रेखा बिंदु $A(8,\; 0)$ (जब $y=0$) और $B(0,\; 4)$ (जब $x=0$) से होकर गुजरती है। मूल बिंदु $(0,\; 0)$ को असमिका में रखने पर, $0\; +\; 2(0)\; \backslash le\; 8\; \backslash Rightarrow\; 0\; \backslash le\; 8$ जो सत्य है। इसलिए, $x\; +\; 2y\; \backslash le\; 8$ का क्षेत्र रेखा $x\; +\; 2y\; =\; 8$ और उसके नीचे मूल बिंदु की ओर का क्षेत्र है।
2. असमिका $3x\; +\; 2y\; \backslash le\; 12$ के लिए, हम रेखा $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ खींचते हैं। यह रेखा बिंदु $P(4,\; 0)$ (जब $y=0$) और $Q(0,\; 6)$ (जब $x=0$) से होकर गुजरती है। मूल बिंदु $(0,\; 0)$ को असमिका में रखने पर, $3(0)\; +\; 2(0)\; \backslash le\; 12\; \backslash Rightarrow\; 0\; \backslash le\; 12$ जो सत्य है। इसलिए, $3x\; +\; 2y\; \backslash le\; 12$ का क्षेत्र रेखा $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ और उसके नीचे मूल बिंदु की ओर का क्षेत्र है।
3. असमिका $x\; \backslash ge\; 0$ का क्षेत्र y-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र है, जिसमें y-अक्ष स्वयं भी शामिल है।
4. असमिका $y\; \backslash ge\; 0$ का क्षेत्र x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र है, जिसमें x-अक्ष स्वयं भी शामिल है।

इन सभी अवरोधों से परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र एक बहुभुज है जिसके कोनीय बिंदु ज्ञात करने के लिए हमें रेखाओं $x\; +\; 2y\; =\; 8$ और $3x\; +\; 2y\; =\; 12$ के प्रतिच्छेदन बिंदु की गणना करनी होगी।

रेखाओं को हल करने पर:

$3x\; +\; 2y\; =\; 12$

$x\; +\; 2y\; =\; 8$

घटाने पर: $(3x\; -\; x)\; +\; (2y\; -\; 2y)\; =\; 12\; -\; 8\; \backslash Rightarrow\; 2x\; =\; 4\; \backslash Rightarrow\; x\; =\; 2$

$x=2$ को $x\; +\; 2y\; =\; 8$ में रखने पर: $2\; +\; 2y\; =\; 8\; \backslash Rightarrow\; 2y\; =\; 6\; \backslash Rightarrow\; y\; =\; 3$

अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $R(2,\; 3)$ है।

सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदु हैं: $O(0,\; 0)$, $P(4,\; 0)$ (रेखा $3x+2y=12$ का x-अक्ष पर अंतःखंड), और $R(2,\; 3)$। ध्यान दें कि बिंदु $A(8,0)$ और $B(0,4)$ सुसंगत क्षेत्र के बाहर हैं क्योंकि वे दूसरे अवरोध $3x+2y\; \backslash le\; 12$ को संतुष्ट नहीं करते।

अब हम इन कोनीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z\; =\; -3x\; +\; 4y$ का मान ज्ञात करेंगे:

तालिका से स्पष्ट है कि Z का न्यूनतम मान -12 है, जो बिंदु $P(4,\; 0)$ पर प्राप्त होता है।

उत्तर: Z का न्यूनतम मान -12 है, जो $P(4,\; 0)$ पर प्राप्त होता है।