कक्षा 12 गणित: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 2, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 2.1 के सभी प्रश्नों के हल शामिल हैं, जिनमें विभिन्न प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों की गणना पर ध्यान केंद्रित किया गया है। प्रत्येक समाधान में फलन के मुख्य मान की अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण और संबंधित त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग शामिल है। यह संसाधन छात्रों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों को समझने और उनकी गणना करने में मदद करता है, जो परीक्षा की तैयारी के लिए महत्वपूर्ण है।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित-I
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

Chapter summary

यह खंड कक्षा 12 गणित के अध्याय 2, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पर केंद्रित है। इसमें प्रश्नावली 2.1 के प्रश्नों के हल दिए गए हैं, जो मुख्य रूप से विभिन्न प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों जैसे sin⁻¹, cos⁻¹, cosec⁻¹, tan⁻¹, sec⁻¹, और cot⁻¹ के मुख्य मानों को ज्ञात करने पर आधारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के हल में संबंधित फलन के परिसर (range) का उपयोग करके मुख्य मान की गणना को स्पष्ट किया गया है।

Learning outcomes

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों की अवधारणा को समझना।
  • sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, cosec⁻¹, sec⁻¹, और cot⁻¹ के मुख्य मानों की गणना करना।
  • त्रिकोणमितीय फलनों के परिसर (range) का उपयोग करके मुख्य मान ज्ञात करना।
  • ऋणात्मक मानों वाले प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों की गणना करना।
  • मुख्य मान ज्ञात करने के लिए चरण-दर-चरण विधि लागू करना।

Topics covered

Paper topics

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
  • मुख्य मान ज्ञात करना
  • sin⁻¹ का मुख्य मान
  • cos⁻¹ का मुख्य मान
  • tan⁻¹ का मुख्य मान
  • cosec⁻¹ का मुख्य मान
  • sec⁻¹ का मुख्य मान
  • cot⁻¹ का मुख्य मान
  • त्रिकोणमितीय फलनों का परिसर
  • ऋणात्मक मानों के मुख्य मान

Important topics

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान
  • मुख्य मान ज्ञात करने की विधि
  • फलनों के परिसर का उपयोग
  • ऋणात्मक मानों के साथ गणना

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Questions and Solutions

प्रश्न 1:

sin⁻¹(-1/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y</math>।

इसलिए, <math>sin\ y = -\frac{1}{2}</math>।

हम जानते हैं कि <math>sin\ \theta = -sin\ \alpha</math> को <math>sin\ \theta = sin\ (-\alpha)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, <math>sin\ y = -sin\ \left(\frac{\pi}{6}\right) = sin\ \left(-\frac{\pi}{6}\right)</math>।

चूंकि <math>sin^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]</math> होता है, और <math>-\frac{\pi}{6}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)</math> का मुख्य मान <math>-\frac{\pi}{6}</math> है।

प्रश्न 2:

cos⁻¹(√3/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = y</math>।

इसलिए, <math>cos\ y = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>।

हम जानते हैं कि <math>cos\ \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>।

चूंकि <math>cos^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>[0, \pi]</math> होता है, और <math>\frac{\pi}{6}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)</math> का मुख्य मान <math>\frac{\pi}{6}</math> है।

प्रश्न 3:

cosec⁻¹(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>\csc^{-1}(2) = y</math>।

इसलिए, <math>\csc\ y = 2</math>।

हम जानते हैं कि <math>\csc\ \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2</math>।

चूंकि <math>cosec^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] - \{0\}</math> होता है, और <math>\frac{\pi}{6}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>cosec^{-1}(2)</math> का मुख्य मान <math>\frac{\pi}{6}</math> है।

प्रश्न 4:

tan⁻¹(-√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>tan^{-1}(-\sqrt{3}) = y</math>।

इसलिए, <math>tan\ y = -\sqrt{3}</math>।

हम जानते हैं कि <math>tan\ \theta = -tan\ \alpha</math> को <math>tan\ \theta = tan\ (-\alpha)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, <math>tan\ y = -tan\ \left(\frac{\pi}{3}\right) = tan\ \left(-\frac{\pi}{3}\right)</math>।

चूंकि <math>tan^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)</math> होता है, और <math>-\frac{\pi}{3}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>tan^{-1}(-\sqrt{3})</math> का मुख्य मान <math>-\frac{\pi}{3}</math> है।

प्रश्न 5:

cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y</math>।

इसलिए, <math>cos\ y = -\frac{1}{2}</math>।

हम जानते हैं कि <math>cos\ \left(\pi - \alpha\right) = -cos\ \alpha</math>।

इसलिए, <math>cos\ y = -cos\ \left(\frac{\pi}{3}\right) = cos\ \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = cos\ \left(\frac{2\pi}{3}\right)</math>।

चूंकि <math>cos^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>[0, \pi]</math> होता है, और <math>\frac{2\pi}{3}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)</math> का मुख्य मान <math>\frac{2\pi}{3}</math> है।

प्रश्न 6:

tan⁻¹(-1) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>tan^{-1}(-1) = y</math>।

इसलिए, <math>tan\ y = -1</math>।

हम जानते हैं कि <math>tan\ \theta = -tan\ \alpha</math> को <math>tan\ \theta = tan\ (-\alpha)</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए, <math>tan\ y = -tan\ \left(\frac{\pi}{4}\right) = tan\ \left(-\frac{\pi}{4}\right)</math>।

चूंकि <math>tan^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)</math> होता है, और <math>-\frac{\pi}{4}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>tan^{-1}(-1)</math> का मुख्य मान <math>-\frac{\pi}{4}</math> है।

प्रश्न 7:

sec⁻¹(2/√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = y</math>।

इसलिए, <math>sec\ y = \frac{2}{\sqrt{3}}</math>।

हम जानते हैं कि <math>sec\ \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}</math>।

चूंकि <math>sec^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>[0, \pi] - \left\{\frac{\pi}{2}\right\}</math> होता है, और <math>\frac{\pi}{6}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)</math> का मुख्य मान <math>\frac{\pi}{6}</math> है।

प्रश्न 8:

cot⁻¹(√3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>cot^{-1}\sqrt{3} = y</math>।

इसलिए, <math>cot\ y = \sqrt{3}</math>।

हम जानते हैं कि <math>cot\ \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}</math>।

चूंकि <math>cot^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>(0, \pi)</math> होता है, और <math>\frac{\pi}{6}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>cot^{-1}\sqrt{3}</math> का मुख्य मान <math>\frac{\pi}{6}</math> है।

प्रश्न 9:

cos⁻¹(-1/√2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
Solution: माना कि <math>cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = y</math>।

इसलिए, <math>cos\ y = -\frac{1}{\sqrt{2}}</math>।

हम जानते हैं कि <math>cos\ \left(\pi - \alpha\right) = -cos\ \alpha</math>।

इसलिए, <math>cos\ y = -cos\ \left(\frac{\pi}{4}\right) = cos\ \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = cos\ \left(\frac{3\pi}{4}\right)</math>।

चूंकि <math>cos^{-1}</math> फलन का मुख्य मान परिसर <math>[0, \pi]</math> होता है, और <math>\frac{3\pi}{4}</math> इस परिसर में आता है।

अतः, <math>cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math> का मुख्य मान <math>\frac{3\pi}{4}</math> है।

Common mistakes

  • प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के परिसर को गलत याद रखना।
  • ऋणात्मक मानों के लिए मुख्य मान की गणना में त्रुटि करना।
  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का गलत अनुप्रयोग।
  • गणना में सामान्य अंकगणितीय त्रुटियाँ।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के परिसर को अच्छी तरह याद करें।
  • मुख्य मान ज्ञात करने के लिए चरण-दर-चरण विधि का अभ्यास करें।
  • ऋणात्मक मानों वाले प्रश्नों पर विशेष ध्यान दें।
  • विभिन्न प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों की सारणी बनाकर अभ्यास करें।

Practice MCQs

Q1. sin⁻¹(-1/2) का मुख्य मान क्या है?

Q2. cos⁻¹(√3/2) का मुख्य मान क्या है?

Q3. tan⁻¹(-√3) का मुख्य मान क्या है?

Q4. cosec⁻¹(2) का मुख्य मान क्या है?

Q5. cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान क्या है?

Frequently asked questions

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन क्या हैं?

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वे फलन होते हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों (जैसे sin, cos, tan) के व्युत्क्रम (inverse) होते हैं। ये फलन किसी दिए गए त्रिकोणमितीय मान के संगत कोण ज्ञात करने में मदद करते हैं।

मुख्य मान क्या होता है?

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान उसके परिसर (range) में स्थित वह अद्वितीय मान होता है जो फलन के इनपुट के संगत होता है।

sin⁻¹(-1/2) का मुख्य मान -π/6 क्यों है?

क्योंकि sin⁻¹ फलन का परिसर [-π/2, π/2] है, और sin(-π/6) = -1/2 होता है, जो इस परिसर के भीतर है।

cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान 2π/3 क्यों है?

क्योंकि cos⁻¹ फलन का परिसर [0, π] है। cos(2π/3) = -1/2 होता है, और 2π/3 इस परिसर में आता है। π - π/3 का उपयोग करके ऋणात्मक मान के लिए सही कोण ज्ञात किया जाता है।

इन समाधानों का उपयोग परीक्षा की तैयारी के लिए कैसे करें?

इन समाधानों का उपयोग प्रत्येक प्रश्न को हल करने की विधि को समझने, मुख्य मान ज्ञात करने के चरणों का अभ्यास करने और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के परिसर को याद रखने के लिए करें।

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