कक्षा 12 गणित NCERT समाधान: अध्याय 1 - संबंध एवं फलन

(i) दिया गया समुच्चय A = \{1, 2, 3, ..., 13, 14\} और संबंध R = \{(x, y): 3x - y = 0\} है।

इस संबंध को y = 3x के रूप में लिखा जा सकता है। समुच्चय A के अवयवों के लिए, हम संबंध R के युग्मों को ज्ञात करते हैं:

R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}

स्वतुल्यता: संबंध स्वतुल्य होने के लिए, (x, x) \in R सभी x \in A के लिए सत्य होना चाहिए। यहाँ, (1, 1)

otin R क्योंकि 3(1) - 1 = 2

eq 0। अतः, R स्वतुल्य नहीं है।

सममितता: संबंध सममित होने के लिए, यदि (x, y) \in R, तो (y, x) \in R होना चाहिए। यहाँ, (1, 3) \in R क्योंकि 3(1) - 3 = 0। लेकिन (3, 1)

otin R क्योंकि 3(3) - 1 = 8

eq 0। अतः, R सममित नहीं है।

संक्रामकता: संबंध संक्रामक होने के लिए, यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो (x, z) \in R होना चाहिए। यहाँ, (1, 3) \in R और (3, 9) \in R। लेकिन (1, 9)

otin R क्योंकि 3(1) - 9 = -6

eq 0। अतः, R संक्रामक नहीं है।

निष्कर्ष: R न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में संबंध R = \{(x, y): y = x + 5 \text{ तथा } x < 4\} है।

x < 4 के लिए x के मान 1, 2, 3 हो सकते हैं। इन मानों के लिए y के मान ज्ञात करने पर:

जब x = 1, y = 1 + 5 = 6। युग्म (1, 6)।

जब x = 2, y = 2 + 5 = 7। युग्म (2, 7) \।

जब x = 3, y = 3 + 5 = 8। युग्म (3, 8)।

अतः, R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}

स्वतुल्यता: (1, 1)

otin R क्योंकि 1

eq 1 + 5। अतः, R स्वतुल्य नहीं है।

सममितता: (1, 6) \in R, लेकिन (6, 1)

otin R क्योंकि 1

eq 6 + 5। अतः, R सममित नहीं है।

संक्रामकता: संबंध R में (x, y) \in R और (y, z) \in R के रूप में कोई भी युग्म नहीं हैं जहाँ x

eq y और y

eq z। उदाहरण के लिए, यदि हम (1, 6) \in R लेते हैं, तो हमें (6, z) \in R की आवश्यकता होगी, जो संभव नहीं है क्योंकि x < 4 की शर्त पूरी नहीं होती। इसलिए, संक्रामकता की शर्त स्वतः संतुष्ट हो जाती है (vacuously true)। हालाँकि, यदि हम इसे सामान्य रूप से देखें, तो y = x + 5 और z = y + 5 से z = x + 10 होगा। यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो x < 4 और y < 4 होना चाहिए। लेकिन y = x + 5 का अर्थ है कि y हमेशा x से बड़ा है, इसलिए y < 4 संभव नहीं है यदि x \ge 1। इसलिए, संक्रामकता की शर्त लागू नहीं होती है।

निष्कर्ष: R न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

(iii) समुच्चय A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} में संबंध R = \{(x, y): y भाज्य है x से\} है।

स्वतुल्यता: प्रत्येक अवयव x \in A के लिए, x स्वयं से भाज्य होता है (x = 1 \cdot x)। अतः, (x, x) \in R सभी x \in A के लिए सत्य है। इसलिए, R स्वतुल्य है।

सममितता: संबंध सममित होने के लिए, यदि (x, y) \in R, तो (y, x) \in R होना चाहिए। यहाँ, (2, 4) \in R क्योंकि 4, 2 से भाज्य है। लेकिन (4, 2)

otin R क्योंकि 2, 4 से भाज्य नहीं है। अतः, R सममित नहीं है।

संक्रामकता: यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो y, x से भाज्य है और z, y से भाज्य है। इसका मतलब है कि y = kx और z = ly किसी पूर्णांक k, l के लिए। इन समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर, z = l(kx) = (lk)x। चूँकि lk एक पूर्णांक है, z, x से भाज्य है। अतः, (x, z) \in R। इसलिए, R संक्रामक है।

निष्कर्ष: R स्वतुल्य और संक्रामक है, लेकिन सममित नहीं है।

(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में संबंध R = \{(x, y): x - y एक पूर्णांक है\} है।

स्वतुल्यता: किसी भी पूर्णांक x \in Z के लिए, x - x = 0 होता है, जो एक पूर्णांक है। अतः, (x, x) \in R सभी x \in Z के लिए सत्य है। इसलिए, R स्वतुल्य है।

सममितता: माना x, y \in Z और (x, y) \in R। इसका अर्थ है कि x - y एक पूर्णांक है। चूँकि y - x = -(x - y), और एक पूर्णांक का ऋणात्मक भी एक पूर्णांक होता है, इसलिए y - x भी एक पूर्णांक है। अतः, (y, x) \in R। इसलिए, R सममित है।

संक्रामकता: माना x, y, z \in Z और (x, y) \in R तथा (y, z) \in R। इसका अर्थ है कि x - y और y - z दोनों पूर्णांक हैं। इन दोनों पूर्णांकों का योग (x - y) + (y - z) = x - z भी एक पूर्णांक होगा। अतः, (x, z) \in R। इसलिए, R संक्रामक है।

निष्कर्ष: R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में संबंध R:

(a) R = \{(x, y): x \text{ तथा } y \text{ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}\}

स्वतुल्यता: प्रत्येक व्यक्ति x उसी स्थान पर कार्य करता है जहाँ वह स्वयं कार्य करता है। अतः, (x, x) \in R। R स्वतुल्य है।

सममितता: यदि व्यक्ति x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, तो y और x भी एक ही स्थान पर कार्य करते हैं। अतः, यदि (x, y) \in R, तो (y, x) \in R। R सममित है।

संक्रामकता: यदि व्यक्ति x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, तथा y और z भी एक ही स्थान पर कार्य करते हैं, तो इसका अर्थ है कि x और z भी उसी स्थान पर कार्य करते हैं। अतः, यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो (x, z) \in R। R संक्रामक है।

निष्कर्ष: R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(b) R = \{(x, y): x \text{ तथा } y \text{ एक ही मोहल्ले में रहते हैं}\}

स्वतुल्यता: प्रत्येक व्यक्ति x उसी मोहल्ले में रहता है जिसमें वह स्वयं रहता है। अतः, (x, x) \in R। R स्वतुल्य है।

सममितता: यदि व्यक्ति x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं, तो y और x भी एक ही मोहल्ले में रहते हैं। अतः, यदि (x, y) \in R, तो (y, x) \in R। R सममित है।

संक्रामकता: यदि व्यक्ति x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं, तथा y और z भी एक ही मोहल्ले में रहते हैं, तो इसका अर्थ है कि x और z भी उसी मोहल्ले में रहते हैं। अतः, यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो (x, z) \in R। R संक्रामक है।

निष्कर्ष: R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(c) R = \{(x, y): x, y \text{ से ठीक } - \text{ ठीक } 7 \text{ सेमी लंबा है}\}

स्वतुल्यता: कोई भी व्यक्ति स्वयं से ठीक 7 सेमी लंबा नहीं हो सकता है। अतः, (x, x)

otin R। R स्वतुल्य नहीं है।

सममितता: यदि व्यक्ति x, y से ठीक 7 सेमी लंबा है, तो y, x से 7 सेमी छोटा है, अर्थात y, x से लंबा नहीं है। अतः, यदि (x, y) \in R, तो (y, x)

otin R। R सममित नहीं है।

संक्रामकता: यदि व्यक्ति x, y से ठीक 7 सेमी लंबा है, और y, z से ठीक 7 सेमी लंबा है, तो x, z से 7 + 7 = 14 सेमी लंबा होगा। अतः, x, z से ठीक 7 सेमी लंबा नहीं है। इसलिए, यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो (x, z)

otin R। R संक्रामक नहीं है।

निष्कर्ष: R न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।

(d) R = \{(x, y): x, y \text{ के समान आयु के हैं}\} ( में अस्पष्ट भाग को समान आयु माना गया है)

स्वतुल्यता: प्रत्येक व्यक्ति x की आयु स्वयं के बराबर होती है। अतः, (x, x) \in R। R स्वतुल्य है।

सममितता: यदि व्यक्ति x की आयु y की आयु के बराबर है, तो y की आयु भी x की आयु के बराबर होगी। अतः, यदि (x, y) \in R, तो (y, x) \in R। R सममित है।

संक्रामकता: यदि व्यक्ति x की आयु y की आयु के बराबर है, और y की आयु z की आयु के बराबर है, तो x की आयु भी z की आयु के बराबर होगी। अतः, यदि (x, y) \in R और (y, z) \in R, तो (x, z) \in R। R संक्रामक है।

निष्कर्ष: R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।

(e) R = \{(x, y): x, y \text{ के समान आयु के हैं}\} ( में अस्पष्ट भाग को समान आयु माना गया है)

यह भाग (d) के समान है।

निष्कर्ष: R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है।