कक्षा 12 गणित: अध्याय 3 आव्यूह NCERT समाधान

दिए गए आव्यूह में 3 पंक्तियाँ (rows) और 4 स्तंभ (columns) हैं।

1. आव्यूह की कोटि: आव्यूह की कोटि पंक्तियों की संख्या × स्तंभों की संख्या होती है। इसलिए, आव्यूह A की कोटि $3 \times 4$ है।
2. अवयवों की संख्या: आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या कोटि के गुणनफल के बराबर होती है। अतः, अवयवों की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
3. विशिष्ट अवयव: आव्यूह में अवयव $a_{ij}$ द्वारा दर्शाए जाते हैं, जहाँ 'i' पंक्ति संख्या और 'j' स्तंभ संख्या है।
   • $a_{13}$ (पहली पंक्ति, तीसरा स्तंभ) = 19
   • $a_{21}$ (दूसरी पंक्ति, पहला स्तंभ) = 35
   • $a_{33}$ (तीसरी पंक्ति, तीसरा स्तंभ) = -5
   • $a_{24}$ (दूसरी पंक्ति, चौथा स्तंभ) = 12
   • $a_{23}$ (दूसरी पंक्ति, तीसरा स्तंभ) = $\frac{5}{2}$

किसी आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या उसकी कोटि के गुणनफल के बराबर होती है।

जब अवयवों की संख्या 24 है:

हम 24 के ऐसे गुणनखंड युग्म ज्ञात करेंगे जो संभव कोटियाँ दर्शा सकें। ये युग्म हैं:

$1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$, $6 \times 4$, $8 \times 3$, $12 \times 2$, और $24 \times 1$।

इसलिए, 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ ये सभी युग्म हैं।

जब अवयवों की संख्या 13 है:

चूंकि 13 एक अभाज्य संख्या है, इसके केवल दो गुणनखंड युग्म संभव हैं:

$1 \times 13$ और $13 \times 1$।

इसलिए, 13 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ $1 \times 13$ और $13 \times 1$ होंगी।

किसी आव्यूह में अवयवों की कुल संख्या उसकी कोटि के गुणनफल के बराबर होती है।

जब अवयवों की संख्या 18 है:

हम 18 के ऐसे गुणनखंड युग्म ज्ञात करेंगे जो संभव कोटियाँ दर्शा सकें। ये युग्म हैं:

$1 \times 18$, $2 \times 9$, $3 \times 6$, $6 \times 3$, $9 \times 2$, और $18 \times 1$।

इसलिए, 18 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ ये सभी युग्म हैं।

जब अवयवों की संख्या 5 है:

चूंकि 5 एक अभाज्य संख्या है, इसके केवल दो गुणनखंड युग्म संभव हैं:

$1 \times 5$ और $5 \times 1$।

इसलिए, 5 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ $1 \times 5$ और $5 \times 1$ होंगी।

हमें एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ की रचना करनी है।

1. यहाँ $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$ है।
   • $a_{11} = \frac{(1+1)^2}{2} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
   • $a_{12} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
   • $a_{21} = \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
   • $a_{22} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
   इसलिए, आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix}$ है।
2. यहाँ $a_{ij} = \frac{i}{j}$ है।
   • $a_{11} = \frac{1}{1} = 1$
   • $a_{12} = \frac{1}{2}$
   • $a_{21} = \frac{2}{1} = 2$
   • $a_{22} = \frac{2}{2} = 1$
   इसलिए, आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
3. यहाँ $a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2}$ है।
   • $a_{11} = \frac{(1+2(1))^2}{2} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
   • $a_{12} = \frac{(1+2(2))^2}{2} = \frac{(1+4)^2}{2} = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$
   • $a_{21} = \frac{(2+2(1))^2}{2} = \frac{(2+2)^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$
   • $a_{22} = \frac{(2+2(2))^2}{2} = \frac{(2+4)^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$
   इसलिए, आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \ 8 & 18 \end{bmatrix}$ है।

हमें एक $3 \times 4$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ की रचना करनी है, जिसमें 3 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हों।

1. यहाँ $a_{ij} = \frac{1}{2}|-3i+j|$ है। हम प्रत्येक अवयव की गणना करेंगे:
   • पंक्ति 1:
   • $a_{11} = \frac{1}{2}|-3(1)+1| = \frac{1}{2}|-2| = \frac{1}{2}(2) = 1$
   • $a_{12} = \frac{1}{2}|-3(1)+2| = \frac{1}{2}|-1| = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$
   • $a_{13} = \frac{1}{2}|-3(1)+3| = \frac{1}{2}|0| = 0$
   • $a_{14} = \frac{1}{2}|-3(1)+4| = \frac{1}{2}|1| = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$
   • पंक्ति 2:
   • $a_{21} = \frac{1}{2}|-3(2)+1| = \frac{1}{2}|-6+1| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{1}{2}(5) = \frac{5}{2}$
   • $a_{22} = \frac{1}{2}|-3(2)+2| = \frac{1}{2}|-6+2| = \frac{1}{2}|-4| = \frac{1}{2}(4) = 2$
   • $a_{23} = \frac{1}{2}|-3(2)+3| = \frac{1}{2}|-6+3| = \frac{1}{2}|-3| = \frac{1}{2}(3) = \frac{3}{2}$
   • $a_{24} = \frac{1}{2}|-3(2)+4| = \frac{1}{2}|-6+4| = \frac{1}{2}|-2| = \frac{1}{2}(2) = 1$
   • पंक्ति 3:
   • $a_{31} = \frac{1}{2}|-3(3)+1| = \frac{1}{2}|-9+1| = \frac{1}{2}|-8| = \frac{1}{2}(8) = 4$
   • $a_{32} = \frac{1}{2}|-3(3)+2| = \frac{1}{2}|-9+2| = \frac{1}{2}|-7| = \frac{1}{2}(7) = \frac{7}{2}$
   • $a_{33} = \frac{1}{2}|-3(3)+3| = \frac{1}{2}|-9+3| = \frac{1}{2}|-6| = \frac{1}{2}(6) = 3$
   • $a_{34} = \frac{1}{2}|-3(3)+4| = \frac{1}{2}|-9+4| = \frac{1}{2}|-5| = \frac{1}{2}(5) = \frac{5}{2}$
   इसलिए, आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}$ है।
2. यहाँ $a_{ij} = 2i - j$ है। हम प्रत्येक अवयव की गणना करेंगे:
   • पंक्ति 1:
   • $a_{11} = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$
   • $a_{12} = 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0$
   • $a_{13} = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$
   • $a_{14} = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$
   • पंक्ति 2:
   • $a_{21} = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$
   • $a_{22} = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$
   • $a_{23} = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$
   • $a_{24} = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0$
   • पंक्ति 3:
   • $a_{31} = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$
   • $a_{32} = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$
   • $a_{33} = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$
   • $a_{34} = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$
   इसलिए, आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \ 3 & 2 & 1 & 0 \ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ है।

हम आव्यूह की समानता के गुण का उपयोग करेंगे, जिसके अनुसार यदि दो आव्यूह समान हैं, तो उनके संगत अवयव बराबर होते हैं।

1. दिए गए समीकरण हैं: <math display="block">\begin{bmatrix} 4 & 3 \ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \ 1 & 5 \end{bmatrix}</math> संगत अवयवों की तुलना करने पर:
   • $4 = y$
   • $3 = z$
   • $x = 1$
   • $5 = 5$ (यह पुष्टि करता है कि आव्यूह समान कोटि के हैं)
   अतः, $x=1, y=4,$ और $z=3$।
2. दिए गए समीकरण हैं: <math display="block"> \begin{bmatrix} x+y & 2 \ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \ 5 & 8 \end{bmatrix} </math> संगत अवयवों की तुलना करने पर:
   • $x+y = 6$ ...(1)
   • $2 = 2$
   • $5+z = 5 \implies z = 0$
   • $xy = 8$ ...(2)
   समीकरण (1) से, $y = 6-x$। इसे समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर: $x(6-x) = 8$ $6x - x^2 = 8$ $x^2 - 6x + 8 = 0$ $(x-2)(x-4) = 0$ इसलिए, $x=2$ या $x=4$। यदि $x=2$, तो $y = 6-2 = 4$। यदि $x=4$, तो $y = 6-4 = 2$। अतः, $z=0$ और $(x, y)$ के मान $(2, 4)$ या $(4, 2)$ हैं।
3. दिए गए समीकरण हैं: <math display="block">\begin{bmatrix} x+y+z \ x+z \ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \ 5 \ 7 \end{bmatrix}</math> संगत अवयवों की तुलना करने पर:
   • $x+y+z = 9$ ...(1)
   • $x+z = 5$ ...(2)
   • $y+z = 7$ ...(3)
   समीकरण (1) में समीकरण (2) को प्रतिस्थापित करने पर: $(x+z) + y = 9$ $5 + y = 9$ $y = 9 - 5 = 4$। समीकरण (1) में समीकरण (3) को प्रतिस्थापित करने पर: $x + (y+z) = 9$ $x + 7 = 9$ $x = 9 - 7 = 2$। अब $x$ और $y$ के मानों को समीकरण (1) में रखने पर: $2 + 4 + z = 9$ $6 + z = 9$ $z = 9 - 6 = 3$। अतः, $x=2, y=4,$ और $z=3$।