NCERT Class 12 Mathematics Ganit-II: Chapter 3 — 1 भूमिका (Introductionद्ध
यह अध्याय 9, "अवकल समीकरण", NCERT की कक्षा 12 गणित (Ganit-II) की पाठ्यपुस्तक का एक महत्वपूर्ण भाग है। यह अवकल समीकरणों की मूल अवधारणाओं का परिचय देता है, जिसमें स्वतंत्र चर के सापेक्ष फलन के अवकलज ज्ञात करना और दिए गए अवकलज से मूल फलन ज्ञात करना शामिल है। अध्याय में सामान्य अवकल समीकरणों और आंशिक अवकल समीकरणों के बीच अंतर स्पष्ट किया गया है, जिसमें मुख्य रूप से सामान्य अवकल समीकरणों पर ध्यान केंद्रित किया गया है। यह अवकलजों के लिए विभिन्न संकेतन प्रस्तुत करता है, जैसे y', y'', और उच्च कोटि के अवकलजों के लिए y(n)। अवकल समीकरणों के महत्व पर प्रकाश डाला गया है, जो भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र जैसे विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग पाते हैं। यह अध्याय छात्रों को अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों और उनके व्यावहारिक उपयोगों को समझने के लिए एक आधार प्रदान करता है, जो CBSE पाठ्यक्रम के लिए आवश्यक है।
Quick info
| Board | CBSE / NCERT |
|---|---|
| Class | Class 12 |
| Subject | Mathematics |
| Book | Ganit-II |
| Chapter | Chapter 3 — 1 भूमिका (Introductionद्ध |
| Language | Hindi |
| PDF type | NCERT Textbook |
| Session | CBSE 2026 |
| Reading time | 2 minutes |
| Word count | 337 |
Learning outcomes
- अवकल समीकरण की मूल परिभाषा को समझना।
- सामान्य अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण के बीच अंतर करना।
- अवकलजों के लिए विभिन्न संकेतन (जैसे y', y'', y(n)) को पहचानना और उपयोग करना।
- अवकल समीकरणों के विभिन्न क्षेत्रों में महत्व को समझना।
Vocabulary
| Word | Meaning |
|---|---|
| अवकल समीकरण | एक ऐसा समीकरण जिसमें स्वतंत्र चर के सापेक्ष आश्रित चर के अवकलज सम्मिलित हों। |
| स्वतंत्र चर | वह चर जिसका मान दूसरे चर के मान को प्रभावित किए बिना बदला जा सकता है। |
| आश्रित चर | वह चर जिसका मान स्वतंत्र चर के मान पर निर्भर करता है। |
| फलन | एक संबंध जो एक समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के एक अद्वितीय अवयव से जोड़ता है। |
| अवकलज | एक फलन के परिवर्तन की दर। |
| सामान्य अवकल समीकरण | एक अवकल समीकरण जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलज सम्मिलित हों। |
| आंशिक अवकल समीकरण | एक अवकल समीकरण जिसमें एक से अधिक स्वतंत्र चरों के सापेक्ष अवकलज सम्मिलित हों। |
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Practice questions
- अवकल समीकरण की परिभाषा क्या है? Answer: एक ऐसा समीकरण जिसमें स्वतंत्र चर के सापेक्ष आश्रित चर के अवकलज सम्मिलित हों, अवकल समीकरण कहलाता है।
- सामान्य अवकल समीकरण और आंशिक अवकल समीकरण में क्या अंतर है? Answer: सामान्य अवकल समीकरण में केवल एक स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलज होते हैं, जबकि आंशिक अवकल समीकरण में एक से अधिक स्वतंत्र चरों के सापेक्ष अवकलज होते हैं।
- dy/dx = x + y को किस प्रकार का समीकरण कहा जाता है? Answer: यह एक अवकल समीकरण है।
- y'' का क्या अर्थ है? Answer: y'' आश्रित चर y के दूसरे अवकलज को दर्शाता है।
Practice MCQs
Q1. निम्नलिखित में से कौन सा एक अवकल समीकरण है?
Explanation: विकल्प (C) में चर के साथ-साथ स्वतंत्र चर (x) के सापेक्ष आश्रित चर (y) का अवकलज भी शामिल है, इसलिए यह एक अवकल समीकरण है।
Q2. एक अवकल समीकरण जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलज सम्मिलित हों, क्या कहलाता है?
Explanation: परिभाषा के अनुसार, एक ऐसा अवकल समीकरण जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर के सापेक्ष आश्रित चर के अवकलज सम्मिलित हों, सामान्य अवकल समीकरण कहलाता है।
Q3. d²y/dx² का संक्षिप्त रूप क्या है?
Explanation: d²y/dx² को y'' के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, जो आश्रित चर y के दूसरे अवकलज को दर्शाता है।
Q4. अवकल समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से किन क्षेत्रों में किया जाता है?
Explanation: अवकल समीकरणों का उपयोग भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र जैसे विभिन्न वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है।
Frequently asked questions
अवकल समीकरण क्या है?
अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक या अधिक स्वतंत्र चरों के संबंध में एक या अधिक आश्रित चरों के अवकलज शामिल होते हैं।
सामान्य अवकल समीकरण का एक उदाहरण क्या है?
3(dy/dx) + (d²y/dx²) = 0 एक सामान्य अवकल समीकरण का उदाहरण है।
आंशिक अवकल समीकरण क्या है?
आंशिक अवकल समीकरण एक ऐसा अवकल समीकरण है जिसमें एक से अधिक स्वतंत्र चरों के सापेक्ष अवकलज शामिल होते हैं।
अवकल समीकरणों का अध्ययन क्यों महत्वपूर्ण है?
अवकल समीकरणों का उपयोग भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र आदि जैसे विभिन्न क्षेत्रों में प्राकृतिक घटनाओं और प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
उच्च कोटि के अवकलजों के लिए किस संकेतन का उपयोग किया जाता है?
उच्च कोटि के अवकलजों के लिए, nवें कोटि वाले अवकलज dⁿy/dxⁿ के लिए संकेत yⁿ का उपयोग किया जाता है।
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Topics covered
NCERT Class 12 Mathematics — Ganit-II — Chapter 3 — 1 भूमिका (Introductionद्ध. Verified by NCERT Help Editorial Team. Reviewed on 29 Jul 2026. Last updated 10 Aug 2026.