NCERT Class 12 Mathematics Ganit-II: Chapter 2 — समाकलनों के अनुप्रयोग
This chapter, Application of Integrals, builds upon the concept of definite integrals learned in the previous chapter. It focuses on calculating the area bounded by simple curves, including lines, circles, parabolas, and ellipses. The chapter introduces the method of using thin vertical and horizontal strips to approximate and then calculate the exact area under a curve using integration. It explains how to find the area enclosed by a curve y = f(x), the x-axis, and vertical lines x = a and x = b, as well as the area bounded by a curve x = g(y), the y-axis, and horizontal lines y = c and y = d. The text also addresses how to handle areas that fall below the x-axis by considering the absolute value of the integral. This chapter is crucial for applying calculus to solve real-world problems involving areas and geometric shapes.
Quick info
| Board | CBSE / NCERT |
|---|---|
| Class | Class 12 |
| Subject | Mathematics |
| Book | Ganit-II |
| Chapter | Chapter 2 — समाकलनों के अनुप्रयोग |
| Language | Hindi |
| PDF type | NCERT Textbook |
| Session | CBSE 2026 |
| Reading time | 3 minutes |
| Word count | 585 |
Learning outcomes
- Understand the concept of finding areas using definite integrals.
- Calculate the area bounded by simple curves like lines, circles, parabolas, and ellipses.
- Apply integration to find the area under a curve y = f(x) with respect to the x-axis.
- Determine the area bounded by a curve x = g(y) with respect to the y-axis.
- Handle cases where the area lies below the x-axis by using absolute values.
Vocabulary
| Word | Meaning |
|---|---|
| क्षेत्रापफल | Area |
| समाकलन | Integration |
| वक्र | Curve |
| कोटि | Ordinate |
| रेखाएँ | Lines |
| वृत्त | Circle |
| परवलय | Parabola |
| दीघवृत्त | Ellipse |
| मानक रूप | Standard form |
| योगपफल की सीमा | Limit of a sum |
| निरपेक्ष मान | Absolute value |
The complete chapter text is read in the official NCERT PDF viewer below (streamed from ncert.nic.in). This page provides NCERT Help study material — summary, vocabulary, practice questions, and FAQs — not a full reproduction of the textbook.
Read chapter online
This PDF is loaded from the official NCERT website (ncert.nic.in). Use the page buttons below to read — download is disabled on NCERT Help.
Read page by page below. PDF is streamed from the official NCERT website — no download button on this page.
Practice questions
- वक्र y = f(x), x-अक्ष, तथा रेखाओं x = a और x = b से घिरे क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए। Answer: A = ∫[a to b] f(x) dx
- वक्र x = g(y), y-अक्ष, तथा रेखाओं y = c और y = d से घिरे क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए। Answer: A = ∫[c to d] g(y) dy
- यदि वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, तो क्षेत्रापफल ज्ञात करते समय क्या ध्यान रखना चाहिए? Answer: क्षेत्रापफल का निरपेक्ष मान लेना चाहिए, अर्थात ∫ |f(x)| dx।
Practice MCQs
Q1. वक्र y = f(x), x-अक्ष, तथा कोटियों x = a और x = b से घिरे क्षेत्रा का क्षेत्रापफल ज्ञात करने के लिए किस गणितीय विधि का प्रयोग किया जाता है?
Explanation: समाकलन का उपयोग वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जैसा कि इस अध्याय में बताया गया है।
Q2. यदि वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है और a से b तक f(x) < 0 है, तो क्षेत्रापफल का मान क्या होगा?
Explanation: जब वक्र x-अक्ष के नीचे होता है, तो समाकलन ऋणात्मक होता है। क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम ऋणात्मक मान का निरपेक्ष मान लेते हैं।
Q3. क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करके किस प्रकार के क्षेत्रफल की गणना की जाती है?
Explanation: क्षैतिज पट्टियों का विचार वक्र x = g(y), y-अक्ष और क्षैतिज रेखाओं से घिरे क्षेत्रफल की गणना के लिए किया जाता है।
Q4. निम्नलिखित में से कौन सा वक्र इस अध्याय में क्षेत्रफल गणना के लिए शामिल है?
Explanation: यह अध्याय सरल वक्रों जैसे रेखाओं, वृत्तों, परवलयों और दीर्घवृत्तों (मानक रूप में) के बीच घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना पर केंद्रित है।
Frequently asked questions
समाकलनों के अनुप्रयोग का मुख्य उद्देश्य क्या है?
समाकलनों के अनुप्रयोग का मुख्य उद्देश्य विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों और वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करना है।
क्या यह अध्याय केवल मानक रूपों वाले वक्रों पर लागू होता है?
हाँ, यह अध्याय मुख्य रूप से मानक रूपों वाले सरल वक्रों जैसे रेखाओं, वृत्तों, परवलयों और दीर्घवृत्तों के बीच घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल पर केंद्रित है।
यदि कोई वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है तो क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है?
यदि वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, तो समाकलन का मान ऋणात्मक आता है। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम समाकलन के निरपेक्ष मान का उपयोग करते हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किन दो प्रकार की पट्टियों पर विचार किया जाता है?
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ऊर्ध्वाधर पट्टियों (vertical strips) और क्षैतिज पट्टियों (horizontal strips) पर विचार किया जाता है।
वक्र y = f(x), x-अक्ष, और रेखाओं x = a, x = b से घिरे क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
क्षेत्रफल A = ∫[a to b] f(x) dx है।
वक्र x = g(y), y-अक्ष, और रेखाओं y = c, y = d से घिरे क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
क्षेत्रफल A = ∫[c to d] g(y) dy है।
Related resources
Important topics
Topics covered
NCERT Class 12 Mathematics — Ganit-II — Chapter 2 — समाकलनों के अनुप्रयोग. Verified by NCERT Help Editorial Team. Reviewed on 29 Jul 2026. Last updated 10 Aug 2026.