कक्षा 9 गणित: अध्याय 8 चतुर्भुज NCERT समाधान

माना कि चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 3:5:9:13 है। हम इन कोणों को क्रमशः $3x$, $5x$, $9x$ और $13x$ मान सकते हैं।

हम जानते हैं कि किसी भी चतुर्भुज के चारों आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं:

$$3x\; +\; 5x\; +\; 9x\; +\; 13x\; =\; 360^\{\backslash circ\}$$

इन पदों को जोड़ने पर:

$$30x\; =\; 360^\{\backslash circ\}$$

$x$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम 360° को 30 से विभाजित करते हैं:

$$x\; =\; \backslash frac\{360^\{\backslash circ\}\}\{30\}\; =\; 12^\{\backslash circ\}$$

अब हम प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं:

• पहला कोण: $3x\; =\; 3\; \backslash times\; 12^\{\backslash circ\}\; =\; 36^\{\backslash circ\}$
• दूसरा कोण: $5x\; =\; 5\; \backslash times\; 12^\{\backslash circ\}\; =\; 60^\{\backslash circ\}$
• तीसरा कोण: $9x\; =\; 9\; \backslash times\; 12^\{\backslash circ\}\; =\; 108^\{\backslash circ\}$
• चौथा कोण: $13x\; =\; 13\; \backslash times\; 12^\{\backslash circ\}\; =\; 156^\{\backslash circ\}$

अतः, चतुर्भुज के कोण 36°, 60°, 108° और 156° हैं।

दिया गया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और इसके विकर्ण बराबर हैं, अर्थात $AC\; =\; BD$। हमें यह सिद्ध करना है कि ABCD एक आयत है।

प्रमाण:

हम त्रिभुज $\backslash triangle\; ABD$ और त्रिभुज $\backslash triangle\; ABC$ पर विचार करते हैं।

1. $AD\; =\; BC$ (क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।

2. $AB\; =\; AB$ (यह दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ भुजा है)।

3. $BD\; =\; AC$ (यह दिया गया है कि विकर्ण बराबर हैं)।

उपरोक्त तीन स्थितियाँ त्रिभुज $\backslash triangle\; ABD$ और $\backslash triangle\; ABC$ को SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम से सर्वांगसम सिद्ध करती हैं।

$\backslash triangle\; ABD\; \backslash cong\; \backslash triangle\; ABC$ (SSS सर्वांगसमता से)

चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं, उनके संगत भाग भी बराबर होंगे (CPCT - Corresponding Parts of Congruent Triangles)।

इसलिए, $\backslash angle\; DAB\; =\; \backslash angle\; CBA$।

अब, हम जानते हैं कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए इसकी आसन्न भुजाएँ समांतर रेखाओं को तिर्यक रेखा द्वारा काटती हैं। इस प्रकार, $AD\; \backslash parallel\; BC$ और AB एक तिर्यक रेखा है।

इसलिए, $\backslash angle\; DAB\; +\; \backslash angle\; CBA\; =\; 180^\{\backslash circ\}$ (एक ही ओर के अंतः कोण)।

चूंकि $\backslash angle\; DAB\; =\; \backslash angle\; CBA$, हम इन्हें $\backslash angle\; DAB$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

$\backslash angle\; DAB\; +\; \backslash angle\; DAB\; =\; 180^\{\backslash circ\}$

$2\; \backslash angle\; DAB\; =\; 180^\{\backslash circ\}$

$\backslash angle\; DAB\; =\; \backslash frac\{180^\{\backslash circ\}\}\{2\}\; =\; 90^\{\backslash circ\}$

चूंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक कोण ($\backslash angle\; DAB$) 90° है, इसलिए यह एक आयत है।

अतः सिद्ध हुआ।