कक्षा 6 गणित अध्याय 5: प्रारंभिक आकारों को समझना - NCERT समाधान

Solution: केवल देखकर रेखाखंडों की तुलना करने में यह हानि है कि हम उनकी लंबाई का सटीक अनुमान नहीं लगा पाते हैं। हो सकता है कि एक रेखाखंड जो देखने में छोटा लगे, वास्तव में दूसरे से लंबा हो, या इसके विपरीत। दृश्य तुलना में त्रुटि की संभावना अधिक होती है।

Solution: एक रेखाखंड की लंबाई मापने के लिए रूलर की अपेक्षा डिबाइडर का प्रयोग करना अधिक अच्छा माना जाता है क्योंकि डिबाइडर की नोकें दो बिंदुओं पर सटीक रूप से रखी जा सकती हैं, जिससे लंबाई का स्थानांतरण अधिक सटीक होता है। रूलर की मोटाई या उसकी सतह से सीधे माप लेने में थोड़ी अशुद्धि की संभावना हो सकती है, जबकि डिबाइडर द्वारा प्राप्त चौड़ाई को रूलर पर रखकर सीधे मापा जा सकता है, जिससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है।

Solution:

सबसे पहले, हम एक रेखाखंड AB खींचते हैं। फिर, हम बिंदु A और B के बीच एक बिंदु C लेते हैं।

अब, हम इन रेखाखंडों की लंबाई मापते हैं। मान लीजिए:

$$AB\; =\; 6.5\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

$$AC\; =\; 3\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

$$CB\; =\; 3.5\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

अब हम AC और CB की लंबाइयों को जोड़ते हैं:

$$AC\; +\; CB\; =\; 3\; \backslash text\{\; सेमी\}\; +\; 3.5\; \backslash text\{\; सेमी\}\; =\; 6.5\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

हम देखते हैं कि AC + CB का योग AB की लंबाई के बराबर है।

इसलिए, हाँ, इस स्थिति में $AB\; =\; AC\; +\; CB$ है। यह दर्शाता है कि बिंदु C, रेखाखंड AB पर A और B के बीच स्थित है।

Solution:

हमें तीन बिंदु A, B और C दिए गए हैं जो एक रेखा पर स्थित हैं। उनकी लंबाइयाँ इस प्रकार हैं:

$$AB\; =\; 5\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

$$BC\; =\; 3\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

$$AC\; =\; 8\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

हम इन लंबाइयों की तुलना करते हैं। हम देखते हैं कि AB और BC की लंबाइयों का योग AC की लंबाई के बराबर है:

$$AB\; +\; BC\; =\; 5\; \backslash text\{\; सेमी\}\; +\; 3\; \backslash text\{\; सेमी\}\; =\; 8\; \backslash text\{\; सेमी\}$$

चूंकि $AB\; +\; BC\; =\; AC$, इसका मतलब है कि बिंदु B, बिंदु A और बिंदु C के बीच स्थित है। AC सबसे लंबा रेखाखंड है, जो A और C के बीच की दूरी को दर्शाता है, और B इस दूरी के भीतर स्थित है।

अतः, बिंदु B अन्य दोनों बिन्दुओं (A और C) के बीच स्थित है।

Solution:

आकृति में, रेखाखंड AG को कई छोटे भागों में विभाजित किया गया है। हमें यह जांचना है कि क्या बिंदु D, रेखाखंड AG का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु वह बिंदु होता है जो रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

हम बिंदु A से D तक और बिंदु D से G तक के भागों की संख्या गिनते हैं:

रेखाखंड AD में छोटे भागों की संख्या = 3

रेखाखंड DG में छोटे भागों की संख्या = 3

चूंकि AD में भागों की संख्या DG में भागों की संख्या के बराबर है, इसका मतलब है कि रेखाखंड AD की लंबाई रेखाखंड DG की लंबाई के बराबर है।

$$AD\; =\; DG$$

इसलिए, बिंदु D रेखाखंड AG का मध्य-बिंदु है।

Solution:

हमें दिया गया है कि B रेखाखंड AC का मध्य-बिंदु है। इसका अर्थ है कि B, A और C के बीच स्थित है और रेखाखंड AB की लंबाई रेखाखंड BC की लंबाई के बराबर है।

इसलिए, $$AB\; =\; BC\; \backslash quad\; \backslash dots\; (i)$$

हमें यह भी दिया गया है कि C रेखाखंड BD का मध्य-बिंदु है। इसका अर्थ है कि C, B और D के बीच स्थित है और रेखाखंड BC की लंबाई रेखाखंड CD की लंबाई के बराबर है।

इसलिए, $$BC\; =\; CD\; \backslash quad\; \backslash dots\; (ii)$$

चूंकि B, AC का मध्य-बिंदु है और C, BD का मध्य-बिंदु है, और ये सभी बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं (जैसा कि मध्य-बिंदु की परिभाषा से निहित है कि वे एक ही रेखाखंड पर हैं), तो A, B, C, और D एक ही रेखा पर स्थित होंगे।

अब, समीकरण (i) और (ii) से:

समीकरण (i) कहता है $AB\; =\; BC$

समीकरण (ii) कहता है $BC\; =\; CD$

इन दोनों समीकरणों को मिलाने पर, हम पाते हैं कि:

$$AB\; =\; CD$$

इस प्रकार, AB की लंबाई CD की लंबाई के बराबर है क्योंकि दोनों ही BC की लंबाई के बराबर हैं।

Solution:

हाँ, यह कथन सत्य है कि किसी भी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से बड़ा होता है। यह त्रिभुज की भुजाओं का एक मौलिक गुणधर्म है।

आइए हम पाँच त्रिभुज बनाते हैं और उनकी भुजाओं को मापकर इसकी जाँच करते हैं:

1. त्रिभुज 1: भुजाएँ 5 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी।
   • $5\; +\; 8\; =\; 13$ सेमी, जो 10 सेमी से बड़ा है।
   • $8\; +\; 10\; =\; 18$ सेमी, जो 5 सेमी से बड़ा है।
   • $5\; +\; 10\; =\; 15$ सेमी, जो 8 सेमी से बड़ा है।
2. त्रिभुज 2: भुजाएँ 7 सेमी, 9 सेमी, 12 सेमी।
   • $7\; +\; 9\; =\; 16$ सेमी, जो 12 सेमी से बड़ा है।
   • $9\; +\; 12\; =\; 21$ सेमी, जो 7 सेमी से बड़ा है।
   • $7\; +\; 12\; =\; 19$ सेमी, जो 9 सेमी से बड़ा है।
3. त्रिभुज 3: भुजाएँ 15 सेमी, 17 सेमी, 20 सेमी।
   • $15\; +\; 17\; =\; 32$ सेमी, जो 20 सेमी से बड़ा है।
   • $17\; +\; 20\; =\; 37$ सेमी, जो 15 सेमी से बड़ा है।
   • $15\; +\; 20\; =\; 35$ सेमी, जो 17 सेमी से बड़ा है।
4. त्रिभुज 4: भुजाएँ 6 सेमी, 6 सेमी, 9 सेमी।
   • $6\; +\; 6\; =\; 12$ सेमी, जो 9 सेमी से बड़ा है।
   • $6\; +\; 9\; =\; 15$ सेमी, जो 6 सेमी से बड़ा है।
   • $6\; +\; 9\; =\; 15$ सेमी, जो 6 सेमी से बड़ा है।
5. त्रिभुज 5: भुजाएँ 10 सेमी, 10 सेमी, 10 सेमी (समबाहु त्रिभुज)।
   • $10\; +\; 10\; =\; 20$ सेमी, जो 10 सेमी से बड़ा है।
   • $10\; +\; 10\; =\; 20$ सेमी, जो 10 सेमी से बड़ा है।
   • $10\; +\; 10\; =\; 20$ सेमी, जो 10 सेमी से बड़ा है।

इन सभी उदाहरणों से यह सिद्ध होता है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से सदैव बड़ा होता है।