कक्षा 12 गणित: अवकल समीकरण NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 9, 'अवकल समीकरण' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें अवकल समीकरणों की मूल परिभाषाएँ, जैसे कोटि और घात, और उन्हें ज्ञात करने की विधियाँ शामिल हैं। समाधानों में प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण दिया गया है, जिसमें अवकल समीकरणों की कोटि और घात की गणना पर विशेष ध्यान दिया गया है। यह सामग्री छात्रों को अवकल समीकरणों की अवधारणाओं को गहराई से समझने और परीक्षा की तैयारी में सहायता करने के लिए डिज़ाइन की गई है।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter9. अवकल समीकरण

Chapter summary

अध्याय 9, 'अवकल समीकरण', अवकल समीकरणों की मूल बातें, उनकी कोटि और घात की परिभाषाओं पर केंद्रित है। यह खंड प्रश्नावली 9.1 के प्रश्नों को हल करता है, जिसमें विभिन्न अवकल समीकरणों की कोटि और घात ज्ञात करना सिखाया जाता है। समाधानों में स्पष्टीकरण शामिल हैं कि कुछ समीकरणों की घात क्यों परिभाषित नहीं होती है। यह छात्रों को अवकल समीकरणों की संरचना को पहचानने और उनकी विशेषताओं का विश्लेषण करने में मदद करता है।

Learning outcomes

  • अवकल समीकरण की कोटि को परिभाषित करना और ज्ञात करना सीखें।
  • अवकल समीकरण की घात को परिभाषित करना और ज्ञात करना सीखें।
  • उन स्थितियों को पहचानें जहाँ अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं होती है।
  • विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों की कोटि और घात का विश्लेषण करें।

Topics covered

Paper topics

  • अवकल समीकरण की परिभाषा
  • अवकल समीकरण की कोटि
  • अवकल समीकरण की घात
  • कोटि और घात की गणना
  • घात की परिभाषा की शर्तें

Important topics

  • अवकल समीकरण की कोटि ज्ञात करना
  • अवकल समीकरण की घात ज्ञात करना
  • घात परिभाषित न होने वाली स्थितियाँ

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

प्रश्न 1. \frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(\frac{d^4y}{dx^4}\) है, जिसकी कोटि 4 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 4 है।

चूंकि समीकरण में \(\sin(y''')\) पद है, जो अवकलजों में बहुपद नहीं है, इसलिए इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2

प्रश्न 2. y' + 5y = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(y'\) है, जिसकी कोटि 1 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 1 है।

यह समीकरण \(y'\) में एक बहुपद है और \(y'\) की अधिकतम घातांक 1 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 3

प्रश्न 3. \left(\frac{ds}{dt}\right)^4 + 3s \frac{d^2s}{dt^2} = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(\frac{d^2s}{dt^2}\) है, जिसकी कोटि 2 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 2 है।

यह समीकरण \(\frac{d^2s}{dt^2}\) और \(\frac{ds}{dt}\) में एक बहुपद है। उच्चतम कोटि अवकलज \(\frac{d^2s}{dt^2}\) की अधिकतम घातांक 1 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 4

प्रश्न 4. \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(\frac{d^2y}{dx^2}\) है, जिसकी कोटि 2 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 2 है।

चूंकि समीकरण में \(\cos\left(\frac{dy}{dx}\right)\) पद है, जो अवकलजों में बहुपद नहीं है, इसलिए इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5

प्रश्न 5. \frac{d^2y}{dx^2} = \cos 3x + \sin 3x.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(\frac{d^2y}{dx^2}\) है, जिसकी कोटि 2 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 2 है।

यह समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2}\) में एक बहुपद है और \(\frac{d^2y}{dx^2}\) की अधिकतम घातांक 1 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 6

प्रश्न 6. (y''')^2 + (y'')^3 + (y')^4 + y^5 = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(y'''\) है, जिसकी कोटि 3 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 3 है।

उच्चतम कोटि अवकलज \(y'''\) की घातांक 2 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 2 है।

प्रश्न 7

प्रश्न 7. y''' + 2y'' + y' = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(y'''\) है, जिसकी कोटि 3 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 3 है।

उच्चतम कोटि अवकलज \(y'''\) की घातांक 1 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 8

प्रश्न 8. y' + y = e^x.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(y'\) है, जिसकी कोटि 1 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 1 है।

उच्चतम कोटि अवकलज \(y'\) की घातांक 1 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 9

प्रश्न 9. y'' + (y')^2 + 2y = 0.
Solution:

इस अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \(y''\) है, जिसकी कोटि 2 है। इसलिए, अवकल समीकरण की कोटि 2 है।

उच्चतम कोटि अवकलज \(y''\) की घातांक 1 है। अतः, अवकल समीकरण की घात 1 है।

Common mistakes

  • अवकल समीकरण की कोटि और घात के बीच भ्रमित होना।
  • उन समीकरणों की घात निर्धारित करने में त्रुटि करना जहाँ यह परिभाषित नहीं है (जैसे त्रिकोणमितीय फलनों में अवकलज)।
  • उच्चतम कोटि के अवकलज की पहचान करने में गलती करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए कोटि और घात ज्ञात करने के पीछे के तर्क को समझें।
  • उन उदाहरणों पर विशेष ध्यान दें जहाँ घात परिभाषित नहीं है।
  • सूत्रों को याद करने के बजाय अवधारणाओं को समझने पर ध्यान केंद्रित करें।

Practice MCQs

Q1. अवकल समीकरण \(\frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0\) की कोटि क्या है?

Q2. अवकल समीकरण \(y' + 5y = 0\) की घात क्या है?

Q3. अवकल समीकरण \(\left(\frac{ds}{dt}\right)^4 + 3s \frac{d^2s}{dt^2} = 0\) की कोटि क्या है?

Q4. अवकल समीकरण \(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0\) की घात क्या है?

Q5. अवकल समीकरण \((y''')^2 + (y'')^3 + (y')^4 + y^5 = 0\) की घात क्या है?

Frequently asked questions

अवकल समीकरण क्या है?

एक अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें एक या अधिक स्वतंत्र चर, एक आश्रित चर और आश्रित चर के अवकलज शामिल होते हैं।

अवकल समीकरण की कोटि कैसे ज्ञात करते हैं?

अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की कोटि के बराबर होती है।

अवकल समीकरण की घात कैसे ज्ञात करते हैं?

अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह अधिकतम घातांक होती है, जब समीकरण को अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।

किन अवकल समीकरणों की घात परिभाषित नहीं होती है?

जिन अवकल समीकरणों में अवकलजों के त्रिकोणमितीय फलन (जैसे sin, cos), चरघातांकी फलन (जैसे e^x), या ऋणात्मक घातांक होते हैं, उनकी घात परिभाषित नहीं होती है।

क्या सभी अवकल समीकरणों की घात परिभाषित होती है?

नहीं, सभी अवकल समीकरणों की घात परिभाषित नहीं होती है। यदि समीकरण अवकलजों में बहुपद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, तो घात परिभाषित नहीं होती है।

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