कक्षा 12 गणित: समाकलनों के अनुप्रयोग NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 8, 'समाकलनों के अनुप्रयोग' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें वक्रों, रेखाओं और अक्षों द्वारा घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीके शामिल हैं। समाधानों में निश्चित समाकलनों का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने के चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण दिए गए हैं। यह छात्रों को विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल को समाकलन की मदद से निकालने की विधि को समझने में सहायता करता है। ये समाधान परीक्षा की तैयारी और अवधारणाओं की स्पष्ट समझ के लिए अत्यंत उपयोगी हैं।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter8. समाकलनों के अनुप्रयोग

Chapter summary

कक्षा 12 गणित के अध्याय 'समाकलनों के अनुप्रयोग' के ये NCERT समाधान छात्रों को समाकलनों का उपयोग करके विभिन्न क्षेत्रों के क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियों से परिचित कराते हैं। इसमें वक्रों, रेखाओं और अक्षों द्वारा परिबद्ध समतल क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना पर ध्यान केंद्रित किया गया है। समाधान निश्चित समाकलनों के अनुप्रयोग को स्पष्ट करते हैं, जिससे छात्रों को गणितीय अवधारणाओं को समझने और लागू करने में मदद मिलती है।

Learning outcomes

  • वक्रों और रेखाओं से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करना सीखें।
  • निश्चित समाकलनों का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि को समझें।
  • प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन लागू करें।
  • y-अक्ष और x-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल की गणना के बीच अंतर करें।

Topics covered

Paper topics

  • समाकलनों के अनुप्रयोग
  • वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
  • x-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल
  • y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल
  • प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल
  • परवलय $y^2=x$ का क्षेत्रफल
  • परवलय $y^2=9x$ का क्षेत्रफल
  • परवलय $x^2=4y$ का क्षेत्रफल
  • निश्चित समाकलन का अनुप्रयोग

Important topics

  • वक्रों और रेखाओं से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना।
  • x-अक्ष और y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल ज्ञात करना।
  • प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना।
  • निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल निकालना।

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

वक्र $y^2 = x$, रेखाओं $x = 1$, $x = 4$ एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया वक्र $y^2 = x$ है, जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है। यह एक परवलय है जो x-अक्ष के सममित है। हमें $x=1$ और $x=4$ रेखाओं तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

वक्र से, हम $y = \sqrt{x}$ प्राप्त करते हैं (चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल पर विचार कर रहे हैं, जहाँ $y \ge 0$)।

क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार दिया जाता है:

A = \int_{1}^{4} y \, dx

अब, $y = \sqrt{x}$ का मान रखने पर:

A = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx

समाकलन करने पर:

A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{1}^{4}

सीमाओं का मान रखने पर:

A = \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]

A = \frac{2}{3} [(2^2)^{3/2} - 1] = \frac{2}{3} [2^3 - 1] = \frac{2}{3} [8 - 1]

A = \frac{2}{3} [7] = \frac{14}{3}

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{14}{3}$ वर्ग इकाई है।

प्रश्न 2

प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^2 = 9x$, $x = 2$, $x = 4$ एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया वक्र $y^2 = 9x$ है, जो मूल बिंदु (0, 0) पर शीर्ष वाला एक परवलय है और x-अक्ष के सममित है। हमें प्रथम चतुर्थांश में $x=2$ और $x=4$ रेखाओं तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

वक्र से, हम $y = \sqrt{9x} = 3\sqrt{x}$ प्राप्त करते हैं (चूंकि हम प्रथम चतुर्थांश में हैं, $y \ge 0$)।

क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार दिया जाता है:

A = \int_{2}^{4} y \, dx

अब, $y = 3\sqrt{x}$ का मान रखने पर:

A = \int_{2}^{4} 3\sqrt{x} \, dx

समाकलन करने पर:

A = 3 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 3 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{2}^{4}

A = 2 [x^{3/2}]_{2}^{4}

सीमाओं का मान रखने पर:

A = 2 [4^{3/2} - 2^{3/2}]

हम जानते हैं कि $4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$ और $2^{3/2} = 2\sqrt{2}$।

A = 2 [8 - 2\sqrt{2}]

A = 16 - 4\sqrt{2}

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $16 - 4\sqrt{2}$ वर्ग इकाई है।

प्रश्न 3

प्रथम चतुर्थांश में $x^2 = 4y$, $y = 2$, $y = 4$ एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया वक्र $x^2 = 4y$ है, जो मूल बिंदु (0, 0) पर शीर्ष वाला एक परवलय है और y-अक्ष के सममित है। हमें प्रथम चतुर्थांश में $y=2$ और $y=4$ रेखाओं तथा y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

वक्र से, हम $x^2 = 4y$ को $x$ के पदों में व्यक्त करते हैं। चूँकि हम प्रथम चतुर्थांश में हैं, $x \ge 0$, इसलिए $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$।

क्षेत्रफल $A$ y-अक्ष के सापेक्ष समाकलन द्वारा दिया जाता है:

A = \int_{2}^{4} x \, dy

अब, $x = 2\sqrt{y}$ का मान रखने पर:

A = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy

समाकलन करने पर:

A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \times \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}

A = \frac{4}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}

सीमाओं का मान रखने पर:

A = \frac{4}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]

हम जानते हैं कि $4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$ और $2^{3/2} = 2\sqrt{2}$।

A = \frac{4}{3} [8 - 2\sqrt{2}]

A = \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3}

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{32 - 8\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई है।

Common mistakes

  • समाकलन की सीमाओं को सही ढंग से निर्धारित न करना।
  • वक्रों के समीकरणों को सही ढंग से y या x के पदों में व्यक्त न करना।
  • क्षेत्रफल के लिए सही समाकलन सूत्र का चयन न करना।
  • गणना के दौरान बीजगणितीय या समाकलन त्रुटियाँ करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए वक्रों और रेखाओं का आरेख बनाने का अभ्यास करें।
  • समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं पर विशेष ध्यान दें।
  • सूत्रों को याद करें और उन्हें विभिन्न प्रकार के प्रश्नों पर लागू करें।
  • हल किए गए उदाहरणों को स्वयं हल करके अपनी समझ की जाँच करें।

Practice MCQs

Q1. वक्र $y^2 = x$, रेखाओं $x = 1$, $x = 4$ एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

Q2. प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^2 = 9x$, $x = 2$, $x = 4$ एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

Q3. प्रथम चतुर्थांश में वक्र $x^2 = 4y$, $y = 2$, $y = 4$ एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किस समाकलन का उपयोग किया जाएगा?

Q4. वक्र $y^2 = x$ का शीर्ष बिंदु क्या है?

Frequently asked questions

समाकलनों के अनुप्रयोग का क्या अर्थ है?

समाकलनों के अनुप्रयोग का अर्थ है कि हम निश्चित समाकलनों का उपयोग करके विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों, जैसे वक्रों और रेखाओं से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

कक्षा 12 के लिए 'समाकलनों के अनुप्रयोग' अध्याय में मुख्य रूप से क्या सिखाया जाता है?

इस अध्याय में मुख्य रूप से वक्रों, रेखाओं और अक्षों द्वारा परिबद्ध समतल क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करना सिखाया जाता है, जिसके लिए निश्चित समाकलनों का उपयोग किया जाता है।

क्षेत्रफल ज्ञात करते समय समाकलन की सीमाएँ कैसे निर्धारित की जाती हैं?

समाकलन की सीमाएँ आमतौर पर उन बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं जहाँ वक्र या रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, या दिए गए प्रश्न में निर्दिष्ट की गई रेखाओं के x या y निर्देशांक होते हैं।

क्या ये समाधान परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे?

हाँ, ये समाधान विस्तृत स्पष्टीकरण और चरण-दर-चरण विधियों के साथ परीक्षा की तैयारी के लिए अत्यंत उपयोगी हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलती है।

x-अक्ष और y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल ज्ञात करने में क्या अंतर है?

x-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम $\int y dx$ का उपयोग करते हैं, जबकि y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम $\int x dy$ का उपयोग करते हैं।

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