कक्षा 12 गणित: समाकलनों के अनुप्रयोग NCERT समाधान (Chapter 2)

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के लिए "समाकलनों के अनुप्रयोग" अध्याय के NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें वक्रों, रेखाओं और अक्षों द्वारा घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करने के विस्तृत तरीके शामिल हैं। समाधानों में विभिन्न प्रकार के वक्रों जैसे परवलय और उनके द्वारा बनाए गए क्षेत्रों के क्षेत्रफल को निश्चित समाकलनों का उपयोग करके हल किया गया है। प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण समाधान प्रदान किया गया है, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और परीक्षा की तैयारी में मदद मिलती है। ये समाधान छात्रों को समाकलन के व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महारत हासिल करने में सहायता करते हैं।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित-II
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
ChapterChapter 2

Chapter summary

समाकलनों के अनुप्रयोग (Chapter 2) के ये NCERT समाधान छात्रों को निश्चित समाकलनों का उपयोग करके विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि सिखाते हैं। इसमें वक्रों, रेखाओं और अक्षों से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना शामिल है। समाधानों में परवलयों और अन्य वक्रों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए समाकलन की सीमाओं और फलनों को सही ढंग से स्थापित करने पर जोर दिया गया है।

Learning outcomes

  • वक्रों और रेखाओं से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना के लिए निश्चित समाकलनों का उपयोग करना।
  • प्रथम चतुर्थांश में दिए गए वक्रों और रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
  • समाकलन की सीमाओं को सही ढंग से निर्धारित करना।
  • परवलयों और अन्य वक्रों से संबंधित क्षेत्रफल की समस्याओं को हल करना।

Topics covered

Paper topics

  • निश्चित समाकलन का क्षेत्रफल अनुप्रयोग
  • वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
  • रेखाओं द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
  • x-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल
  • y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल
  • प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल
  • परवलय के अंतर्गत क्षेत्रफल
  • समाकलन की सीमाएँ
  • क्षेत्रफल की गणना

Important topics

  • वक्रों और रेखाओं से घिरे क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करना
  • निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना
  • प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की समस्याएँ
  • समाकलन की सीमाओं का सही निर्धारण

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

वक्र <math>y^2 = x</math>, रेखाओं <math>x = 1</math>, <math>x = 4</math> एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया वक्र <math>y^2 = x</math> है, जो एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है और यह x-अक्ष के अनुदिश खुलता है।

हमें वक्र <math>y^2 = x</math>, रेखाओं <math>x = 1</math>, <math>x = 4</math> और x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

चूंकि <math>y^2 = x</math>, इसलिए <math>y = \pm \sqrt{x}</math>। चूँकि हम x-अक्ष और रेखाओं <math>x=1</math> से <math>x=4</math> के बीच के क्षेत्र की बात कर रहे हैं, हम धनात्मक मान <math>y = \sqrt{x}</math> लेंगे, जो x-अक्ष के ऊपर का भाग दर्शाता है।

क्षेत्रफल (A) की गणना निश्चित समाकलन का उपयोग करके की जा सकती है:

A = \int_{1}^{4} y \, dx

y के स्थान पर <math>\sqrt{x}</math> रखने पर:

A = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx

अब, हम समाकलन करते हैं:

A = \left[ \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{1}^{4}

अब, हम ऊपरी और निचली सीमाओं का मान रखते हैं:

A = \frac{2}{3} \left[ (4)^{3/2} - (1)^{3/2} \right]

गणना करने पर:

A = \frac{2}{3} \left[ (\sqrt{4})^3 - (\sqrt{1})^3 \right] = \frac{2}{3} \left[ (2)^3 - (1)^3 \right] = \frac{2}{3} [8 - 1]

A = \frac{2}{3} [7] = \frac{14}{3}

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल <math>\frac{14}{3}</math> वर्ग इकाई है।

प्रश्न 2

प्रथम चतुर्थांश में वक्र <math>y^2 = 9x</math>, <math>x = 2</math>, <math>x = 4</math> एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया वक्र <math>y^2 = 9x</math> है, जो एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है और यह x-अक्ष के अनुदिश खुलता है।

हमें प्रथम चतुर्थांश में वक्र <math>y^2 = 9x</math>, रेखाओं <math>x = 2</math>, <math>x = 4</math> और x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

चूंकि <math>y^2 = 9x</math>, इसलिए <math>y = \pm \sqrt{9x} = \pm 3\sqrt{x}</math>। प्रथम चतुर्थांश के लिए, हम धनात्मक मान <math>y = 3\sqrt{x}</math> लेंगे।

क्षेत्रफल (A) की गणना निश्चित समाकलन का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x की सीमाएँ 2 से 4 तक हैं:

A = \int_{2}^{4} y \, dx

y के स्थान पर <math>3\sqrt{x}</math> रखने पर:

A = \int_{2}^{4} 3\sqrt{x} \, dx = 3 \int_{2}^{4} x^{1/2} \, dx

अब, हम समाकलन करते हैं:

A = 3 \left[ \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} \right]_{2}^{4} = 3 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 3 \times \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} \right]_{2}^{4}

A = 2 \left[ x^{3/2} \right]_{2}^{4}

अब, हम ऊपरी और निचली सीमाओं का मान रखते हैं:

A = 2 \left[ (4)^{3/2} - (2)^{3/2} \right]

गणना करने पर:

A = 2 \left[ (\sqrt{4})^3 - (\sqrt{2})^3 \right] = 2 \left[ (2)^3 - 2\sqrt{2} \right] = 2 [8 - 2\sqrt{2}]

A = 16 - 4\sqrt{2}

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल <math>(16 - 4\sqrt{2})</math> वर्ग इकाई है।

प्रश्न 3

प्रथम चतुर्थांश में <math>x^2 = 4y</math>, <math>y = 2</math>, <math>y = 4</math> एवं y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:

दिया गया वक्र <math>x^2 = 4y</math> है, जो एक परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है और यह y-अक्ष के अनुदिश खुलता है।

हमें प्रथम चतुर्थांश में वक्र <math>x^2 = 4y</math>, रेखाओं <math>y = 2</math>, <math>y = 4</math> और y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

चूंकि <math>x^2 = 4y</math>, इसलिए <math>x = \pm \sqrt{4y} = \pm 2\sqrt{y}</math>। प्रथम चतुर्थांश के लिए, हम धनात्मक मान <math>x = 2\sqrt{y}</math> लेंगे।

क्षेत्रफल (A) की गणना निश्चित समाकलन का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ y की सीमाएँ 2 से 4 तक हैं और हम y-अक्ष के सापेक्ष समाकलन करेंगे:

A = \int_{2}^{4} x \, dy

x के स्थान पर <math>2\sqrt{y}</math> रखने पर:

A = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy = 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy

अब, हम समाकलन करते हैं:

A = 2 \left[ \frac{y^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} \right]_{2}^{4} = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}

A = \frac{4}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}

अब, हम ऊपरी और निचली सीमाओं का मान रखते हैं:

A = \frac{4}{3} \left[ (4)^{3/2} - (2)^{3/2} \right]

गणना करने पर:

A = \frac{4}{3} \left[ (\sqrt{4})^3 - (\sqrt{2})^3 \right] = \frac{4}{3} \left[ (2)^3 - 2\sqrt{2} \right] = \frac{4}{3} [8 - 2\sqrt{2}]

A = \frac{32}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3}

अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल <math>\frac{32 - 8\sqrt{2}}{3}</math> वर्ग इकाई है।

Common mistakes

  • समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं को गलत निर्धारित करना।
  • वक्र के समीकरण से y या x का मान सही ढंग से न निकालना।
  • क्षेत्रफल के सूत्र में फलन को गलत रखना।
  • सरलीकरण के दौरान गणितीय त्रुटियाँ करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए वक्र और रेखाओं का एक कच्चा चित्र बनाएं।
  • क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सही समाकलन फलन और सीमाओं की पहचान करें।
  • समाकलन के सूत्रों और बीजगणितीय सरलीकरण का अभ्यास करें।
  • हल किए गए उदाहरणों को देखकर स्वयं हल करने का प्रयास करें।

Practice MCQs

Q1. वक्र $y^2 = x$, रेखाओं $x = 1$ और $x = 4$ तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

Q2. वक्र $y^2 = 9x$, रेखाओं $x = 2$ और $x = 4$ तथा x-अक्ष से प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

Q3. वक्र $x^2 = 4y$, रेखाओं $y = 2$ और $y = 4$ तथा y-अक्ष से प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किस समाकलन का उपयोग किया जाएगा?

Q4. निश्चित समाकलन $\int_a^b f(x) dx$ क्या दर्शाता है?

Frequently asked questions

समाकलनों के अनुप्रयोग का क्या अर्थ है?

समाकलनों के अनुप्रयोग का अर्थ है निश्चित समाकलनों का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों, जैसे वक्रों और रेखाओं से घिरे क्षेत्रों के क्षेत्रफल की गणना करना।

कक्षा 12 गणित में समाकलनों के अनुप्रयोग का यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है?

यह अध्याय छात्रों को यह समझने में मदद करता है कि समाकलन का उपयोग वास्तविक दुनिया की समस्याओं, विशेष रूप से क्षेत्रफल की गणना में कैसे किया जा सकता है, जो परीक्षा के दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन की सीमाएँ कैसे निर्धारित की जाती हैं?

सीमाएँ आमतौर पर उन बिंदुओं पर निर्धारित की जाती हैं जहाँ वक्र या रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, या जहाँ वे अक्षों से मिलती हैं, या दी गई रेखाओं द्वारा परिभाषित होती हैं।

क्या ये समाधान केवल NCERT पाठ्यपुस्तक के लिए हैं?

हाँ, ये समाधान विशेष रूप से CBSE कक्षा 12 गणित की NCERT पाठ्यपुस्तक के अध्याय 'समाकलनों के अनुप्रयोग' के लिए हैं।

इन समाधानों का उपयोग करके छात्र अपनी परीक्षा की तैयारी कैसे कर सकते हैं?

छात्र इन समाधानों का उपयोग करके प्रत्येक प्रश्न के हल करने के तरीके को समझ सकते हैं, महत्वपूर्ण सूत्रों को याद कर सकते हैं और विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं।

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