कक्षा 12 गणित: अवकलज के अनुप्रयोग NCERT समाधान

मान लीजिए कि A वृत्त का क्षेत्रफल है और r इसकी त्रिज्या है। तब, वृत्त का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:

A = \pi r^2

हमें क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर को त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात करना है। इसके लिए, हम A का r के सापेक्ष अवकलन करते हैं:

\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2)

\frac{dA}{dr} = 2\pi r

अब, हम दिए गए त्रिज्या मानों के लिए इस दर की गणना करेंगे:

(i) जब r = 3 सेमी:

\left(\frac{dA}{dr}\right)_{r=3} = 2\pi(3) = 6\pi

अतः, जब त्रिज्या 3 सेमी है, तो वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर 6\pi सेमी2 प्रति सेमी है।

(ii) जब r = 4 सेमी:

\left(\frac{dA}{dr}\right)_{r=4} = 2\pi(4) = 8\pi

अतः, जब त्रिज्या 4 सेमी है, तो वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर 8\pi सेमी2 प्रति सेमी है।

मान लीजिए कि घन की कोर की लंबाई x है, आयतन V है, और पृष्ठ क्षेत्रफल S है।

घन का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: V = x^3

घन का पृष्ठ क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: S = 6x^2 (क्योंकि घन के 6 वर्ग फलक होते हैं, प्रत्येक का क्षेत्रफल x^2 होता है)।

यह दिया गया है कि आयतन 8 सेमी3/से की दर से बढ़ रहा है, अर्थात \frac{dV}{dt} = 8 सेमी3/से।

हम जानते हैं कि V = x^3। समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर (श्रृंखला नियम का उपयोग करके):

\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = 3x^2 \frac{dx}{dt}

दिए गए मान को रखने पर:

8 = 3x^2 \frac{dx}{dt}

इससे हमें कोर की लंबाई के परिवर्तन की दर मिलती है:

\frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^2}

...(i)

अब, हमें पृष्ठ क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है, जो कि \frac{dS}{dt} है।

S = 6x^2 का समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) = 12x \frac{dx}{dt}

समीकरण (i) से \frac{dx}{dt} का मान रखने पर:

\frac{dS}{dt} = 12x \left(\frac{8}{3x^2}\right) = \frac{96x}{3x^2} = \frac{32}{x}

अब, हमें यह दर तब ज्ञात करनी है जब कोर की लंबाई x = 12 सेमी है।

\left(\frac{dS}{dt}\right)_{x=12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}

अतः, जब घन की कोर की लंबाई 12 सेमी है, तो पृष्ठ क्षेत्रफल \frac{8}{3} सेमी2/से की दर से बढ़ रहा है।

मान लीजिए कि t समय पर वृत्त की त्रिज्या r है और क्षेत्रफल A है।

वृत्त का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: A = \pi r^2।

हमें क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर समय t के सापेक्ष ज्ञात करनी है, अर्थात \frac{dA}{dt}। इसके लिए, हम A का t के सापेक्ष अवकलन करते हैं (श्रृंखला नियम का उपयोग करके):

\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}

यह दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी/से की दर से बढ़ रही है, अर्थात \frac{dr}{dt} = 3 सेमी/से।

अब, हम इस दर को सूत्र में रखते हैं:

\frac{dA}{dt} = 2\pi r (3) = 6\pi r

हमें यह दर तब ज्ञात करनी है जब त्रिज्या r = 10 सेमी है।

\left(\frac{dA}{dt}\right)_{r=10} = 6\pi(10) = 60\pi

अतः, जब वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है, तो वृत्त का क्षेत्रफल 60\pi सेमी2/से की दर से बढ़ रहा है।

मान लीजिए कि घन की कोर की लंबाई x है और आयतन V है।

घन का आयतन इस प्रकार दिया जाता है: V = x^3।

हमें आयतन के परिवर्तन की दर समय t के सापेक्ष ज्ञात करनी है, अर्थात \frac{dV}{dt}। इसके लिए, हम V का t के सापेक्ष अवकलन करते हैं (श्रृंखला नियम का उपयोग करके):

\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = 3x^2 \frac{dx}{dt}

यह दिया गया है कि घन की कोर 3 सेमी/से की दर से बढ़ रही है, अर्थात \frac{dx}{dt} = 3 सेमी/से।

अब, हम इस दर को सूत्र में रखते हैं:

\frac{dV}{dt} = 3x^2 (3) = 9x^2

हमें यह दर तब ज्ञात करनी है जब कोर की लंबाई x = 10 सेमी है।

\left(\frac{dV}{dt}\right)_{x=10} = 9(10)^2 = 9(100) = 900

अतः, जब कोर की लंबाई 10 सेमी है, तो घन का आयतन 900 सेमी3/से की दर से बढ़ रहा है।

मान लीजिए कि t समय पर वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या r है और इसके द्वारा घिरा क्षेत्रफल A है।

वृत्त का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: A = \pi r^2।

हमें क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर समय t के सापेक्ष ज्ञात करनी है, अर्थात \frac{dA}{dt}। इसके लिए, हम A का t के सापेक्ष अवकलन करते हैं (श्रृंखला नियम का उपयोग करके):

\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}

यह दिया गया है कि तरंगें 5 सेमी/से की गति से चल रही हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या 5 सेमी/से की दर से बढ़ रही है। अतः, \frac{dr}{dt} = 5 सेमी/से।

हमें यह दर तब ज्ञात करनी है जब त्रिज्या r = 8 सेमी है।

अब, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

\left(\frac{dA}{dt}\right)_{r=8} = 2\pi(8)(5) = 80\pi

अतः, जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है, तो तरंग द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल 80\pi सेमी2/से की दर से बढ़ रहा है।