कक्षा 12 गणित NCERT समाधान: अध्याय 5 - सांतत्य तथा अवकलनीयता

दिया गया फलन $f(x) = 5x - 3$ है।

$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:

फलन का मान $x=0$ पर: $f(0) = 5(0) - 3 = -3$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (5x-3) = 5(0) - 3 = -3$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (5x-3) = 5(0) - 3 = -3$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(0) = -3$, अतः फलन $x=0$ पर संतत है।

$x = -3$ पर सांतत्य की जाँच:

फलन का मान $x=-3$ पर: $f(-3) = 5(-3) - 3 = -15 - 3 = -18$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (5x - 3) = 5(-3) - 3 = -18$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (5x - 3) = 5(-3) - 3 = -18$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(-3) = -18$, अतः फलन $x=-3$ पर संतत है।

$x = 5$ पर सांतत्य की जाँच:

फलन का मान $x=5$ पर: $f(5) = 5(5) - 3 = 25 - 3 = 22$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (5x - 3) = 5(5) - 3 = 22$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (5x - 3) = 5(5) - 3 = 22$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(5) = 22$, अतः फलन $x=5$ पर संतत है।

इस प्रकार, फलन $f(x) = 5x - 3$ दिए गए सभी बिंदुओं $x=0, x=-3,$ और $x=5$ पर संतत है।

दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ है।

$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच:

फलन का मान $x=3$ पर: $f(3) = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x\to 3^-} f(x) = \lim_{x\to 3^-} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(3) = 17$, अतः फलन $x=3$ पर संतत है।

(a) $f(x) = x - 5$

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है।

फलन का मान $x=k$ पर: $f(k) = k - 5$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} (x - 5) = k - 5$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to k^+} f(x) = \lim_{x \to k^+} (x - 5) = k - 5$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(k) = k - 5$, अतः फलन $f(x) = x - 5$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

(b) $f(x) = \frac{1}{x-5}, x \neq 5$

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है जहाँ $k \neq 5$।

फलन का मान $x=k$ पर: $f(k) = \frac{1}{k-5}$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} \left(\frac{1}{x-5}\right) = \frac{1}{k-5}$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to k^+} f(x) = \lim_{x \to k^+} \left(\frac{1}{x-5}\right) = \frac{1}{k-5}$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(k) = \frac{1}{k-5}$, अतः फलन $f(x) = \frac{1}{x-5}$ सभी वास्तविक संख्याओं (5 को छोड़कर) के लिए संतत है।

(c) $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}, x \neq -5$

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है जहाँ $k \neq -5$।

फलन का मान $x=k$ पर: $f(k) = \frac{k^2 - 25}{k + 5} = \frac{(k+5)(k-5)}{(k+5)} = k - 5$ (चूंकि $k \neq -5$)

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to k^-} f(x) = \lim_{x \to k^-} \left( \frac{x^2 - 25}{x + 5} \right) = \lim_{x \to k^-} \left( \frac{(x+5)(x-5)}{(x+5)} \right) = \lim_{x \to k^-} (x-5) = k - 5$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to k^+} f(x) = \lim_{x \to k^+} \left( \frac{x^2 - 25}{x + 5} \right) = \lim_{x \to k^+} \left( \frac{(x+5)(x-5)}{(x+5)} \right) = \lim_{x \to k^+} (x-5) = k - 5$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(k) = k - 5$, अतः फलन $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}$ सभी वास्तविक संख्याओं (-5 को छोड़कर) के लिए संतत है।

(d) $f(x) = |x - 5|$

हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$f(x) = \begin{cases} 5 - x, & x < 5 \ x - 5, & x \ge 5 \end{cases}$

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है।

स्थिति 1: यदि $k < 5$

फलन का मान $x=k$ पर: $f(k) = 5 - k$

सीमा: $\lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (5 - x) = 5 - k$

चूंकि $\lim_{x \to k} f(x) = f(k)$, अतः फलन $k < 5$ के लिए संतत है।

स्थिति 2: यदि $k = 5$

फलन का मान $x=5$ पर: $f(5) = 5 - 5 = 0$

बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (5 - x) = 5 - 5 = 0$

दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (x - 5) = 5 - 5 = 0$

चूंकि, बाईं पक्ष की सीमा = दाईं पक्ष की सीमा = $f(5) = 0$, अतः फलन $x=5$ पर संतत है।

स्थिति 3: यदि $k > 5$

फलन का मान $x=k$ पर: $f(k) = k - 5$

सीमा: $\lim_{x \to k} f(x) = \lim_{x \to k} (x - 5) = k - 5$

चूंकि $\lim_{x \to k} f(x) = f(k)$, अतः फलन $k > 5$ के लिए संतत है।

उपरोक्त तीनों स्थितियों से, फलन $f(x) = |x - 5|$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।