कक्षा 11 भौतिकी: समतल में गति NCERT समाधान

भौतिक राशियों को उनकी दिशा पर निर्भरता के आधार पर सदिश और अदिश राशियों में वर्गीकृत किया जाता है।

अदिश राशियाँ (जिनमें केवल परिमाण होता है):

• आयतन (Volume)
• द्रव्यमान (Mass)
• चाल (Speed)
• घनत्व (Density)
• मोल संख्या (Mole number)
• कोणीय आवृत्ति (Angular frequency)

सदिश राशियाँ (जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं):

• त्वरण (Acceleration)
• वेग (Velocity)
• विस्थापन (Displacement)
• कोणीय वेग (Angular velocity)

दी गई सूची में से अदिश राशियाँ वे हैं जिनमें केवल परिमाण होता है और दिशा नहीं होती।

सूची में से दो अदिश राशियाँ हैं:

• कार्य (Work)
• घारा (Electric Current)

अन्य राशियाँ जैसे बल, कोणीय संवेग, रैखिक संवेग, विद्युत क्षेत्र, औसत वेग, चुंबकीय आधूर्ण और आपेक्षिक वेग सदिश राशियाँ हैं।

दी गई सूची में से, हमें उस राशि की पहचान करनी है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

सूची में से एकमात्र सदिश राशि है:

• आवेग (Impulse)

अन्य सभी राशियाँ (ताप, दाब, समय, शक्ति, पथ-लंबाई, ऊर्जा, गुरुत्वीय विभव, घर्षण गुणांक, आवेश) अदिश राशियाँ हैं।

बीजगणितीय संक्रियाओं की अर्थपूर्णता राशियों की प्रकृति (सदिश या अदिश) और उनकी विमाओं पर निर्भर करती है।

(a) दो अदिशों को जोड़ना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है यदि दोनों अदिश राशियों की विमाएँ समान हों। समान विमाओं वाली अदिश राशियों को सामान्य बीजगणितीय नियमों के अनुसार जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो द्रव्यमानों को जोड़ा जा सकता है।

(b) एक ही विमाओं के एक सदिश व एक अदिश को जोड़ना: नहीं, यह अर्थपूर्ण नहीं है। एक सदिश राशि को एक अदिश राशि में नहीं जोड़ा जा सकता, भले ही उनकी विमाएँ समान हों, क्योंकि उनकी प्रकृति भिन्न होती है।

(c) एक सदिश को एक अदिश से गुणा करना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है। जब एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक नई सदिश राशि होती है। इस नई सदिश का परिमाण मूल सदिश के परिमाण और अदिश के परिमाण के गुणनफल के बराबर होता है, और इसकी दिशा मूल सदिश की दिशा के समान होती है (यदि अदिश धनात्मक है) या विपरीत होती है (यदि अदिश ऋणात्मक है)।

उदाहरण: एक 4 kg द्रव्यमान (अदिश) का पिंड 20 m/s के वेग (सदिश) से पूर्व दिशा में गति कर रहा है। संवेग (p) द्रव्यमान (m) और वेग (v) का गुणनफल है, जो एक सदिश राशि है।

$$p\; =\; m\; \backslash times\; v\; =\; 4\; \backslash text\{\; kg\}\; \backslash times\; (20\; \backslash text\{\; m/s\; पूर्व\})\; =\; 80\; \backslash text\{\; kg-m/s\; पूर्व\}$$

(d) दो अदिशों का गुणन: हाँ, यह अर्थपूर्ण है। दो अदिश राशियों का गुणनफल एक नई अदिश राशि होती है। उदाहरण के लिए, घनत्व (ρ) और आयतन (V) दोनों अदिश राशियाँ हैं, और उनका गुणनफल द्रव्यमान (m) देता है, जो एक अदिश राशि है।

$$\backslash rho\; \backslash times\; V\; =\; m$$

(e) दो सदिशों को जोड़ना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है यदि दोनों सदिश राशियों की विमाएँ समान हों। समान विमाओं वाले दो सदिशों को सदिश योग के नियमों (जैसे त्रिभुज नियम या समांतर चतुर्भुज नियम) का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है।

(f) एक सदिश के घटक की उसी सदिश से जोड़ना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है। एक सदिश के घटक (जैसे x-घटक, y-घटक) स्वयं सदिश राशियाँ होती हैं (या अदिश यदि केवल परिमाण पर विचार करें) और उनकी विमाएँ मूल सदिश के समान होती हैं। इसलिए, एक सदिश के घटकों को उसी सदिश के साथ (या एक दूसरे के साथ) जोड़ा जा सकता है, बशर्ते कि वे सदिश योग के नियमों का पालन करें।

(a) किसी सदिश का परिमाण सदैव एक अदिश होता है:

सत्य। सदिश का परिमाण उस सदिश की 'लंबाई' या 'मात्रा' को दर्शाता है और इसमें कोई दिशात्मक जानकारी नहीं होती है। परिमाण हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है, जो इसे एक अदिश राशि बनाती है। उदाहरण के लिए, वेग सदिश का परिमाण चाल होती है, जो एक अदिश राशि है।

(b) किसी सदिश का प्रत्येक घटक सदैव अदिश होता है:

सत्य। जब हम किसी सदिश को उसके घटकों में वियोजित करते हैं (जैसे कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में x, y, z घटक), तो ये घटक स्वयं अदिश राशियाँ होती हैं। ये घटक सदिश के अक्षों के अनुदिश 'प्रक्षेपण' (projection) का प्रतिनिधित्व करते हैं और केवल परिमाण में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि सदिश $\backslash vec\{A\}\; =\; A\_x\; \backslash hat\{i\}\; +\; A\_y\; \backslash hat\{j\}$ है, तो $A\_x$ और $A\_y$ अदिश घटक हैं।