कक्षा 11 भौतिकी NCERT समाधान: अध्याय 6 - कार्य, ऊर्जा और शक्ति

कार्य की गणना सूत्र $W\; =\; Fs\; \backslash cos\backslash theta$ द्वारा की जाती है, जहाँ $F$ आरोपित बल है, $s$ विस्थापन है, और $\backslash theta$ बल तथा विस्थापन के बीच का कोण है।

• यदि , तो $\backslash cos\backslash theta$ धनात्मक होता है, और किया गया कार्य धनात्मक होता है।
• यदि $\backslash theta\; =\; 90^\backslash circ$, तो $\backslash cos\backslash theta\; =\; 0$, और किया गया कार्य शून्य होता है।
• यदि , तो $\backslash cos\backslash theta$ ऋणात्मक होता है, और किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।

(a) व्यक्ति द्वारा बाल्टी को कुएँ से बाहर निकालने में किया गया कार्य:

व्यक्ति बाल्टी को ऊपर की ओर खींचता है, और बाल्टी का विस्थापन भी ऊपर की ओर होता है। चूँकि बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं, उनके बीच का कोण $\backslash theta\; =\; 0^\backslash circ$ है। इसलिए, व्यक्ति द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।

(b) गुरुत्वीय बल द्वारा बाल्टी पर किया गया कार्य:

गुरुत्वीय बल हमेशा नीचे की ओर कार्य करता है, जबकि बाल्टी को ऊपर की ओर खींचा जा रहा है (विस्थापन ऊपर की ओर है)। अतः गुरुत्वीय बल और विस्थापन के बीच का कोण $\backslash theta\; =\; 180^\backslash circ$ है। चूँकि $\backslash cos\; 180^\backslash circ\; =\; -1$, गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।

(c) आनत तल पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य:

जब कोई वस्तु आनत तल पर नीचे की ओर फिसलती है, तो घर्षण बल गति की दिशा के विपरीत, अर्थात ऊपर की ओर कार्य करता है। विस्थापन नीचे की ओर होता है। इसलिए, घर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण $\backslash theta\; =\; 180^\backslash circ$ है। अतः घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।

(d) क्षैतिज तल पर एकसमान वेग से गतिमान वस्तु पर लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य:

वस्तु एकसमान वेग से गति कर रही है, जिसका अर्थ है कि उस पर लगने वाला कुल बल शून्य है। हालाँकि, प्रश्न में 'लगाए गए बल' द्वारा किए गए कार्य के बारे में पूछा गया है। यदि वस्तु को एकसमान वेग से गतिमान रखने के लिए एक बल लगाया जा रहा है (जो घर्षण और अन्य प्रतिरोध बलों के बराबर और विपरीत है), तो यह लगाया गया बल विस्थापन की दिशा में ही होगा। इसलिए, बल और विस्थापन के बीच का कोण $\backslash theta\; =\; 0^\backslash circ$ है, और इस लगाए गए बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।

(e) दोलायमान लोलक पर वायु प्रतिरोधक बल द्वारा किया गया कार्य:

वायु प्रतिरोधक बल हमेशा वस्तु की गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। लोलक के दोलन के दौरान, वायु प्रतिरोधक बल हमेशा लोलक की गति की दिशा के विपरीत होता है। इसलिए, वायु प्रतिरोधक बल और विस्थापन के बीच का कोण $\backslash theta\; =\; 180^\backslash circ$ है। अतः वायु प्रतिरोधक बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।

दिया गया है:

द्रव्यमान, m = 2 \text{ kg}

प्रारंभिक वेग, u = 0 \text{ m/s} (विरामावस्था में)

लगाया गया क्षैतिज बल, F_{\text{applied}} = 7 \text{ N}

गतिज घर्षण गुणांक, \mu_k = 0.1

समय, t = 10 \text{ s}

गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 \text{ m/s}^2

सबसे पहले, हम घर्षण बल की गणना करेंगे। मेज पर वस्तु पर लगने वाला अभिलंब बल (R) वस्तु के भार के बराबर होगा:

R = mg = 2 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 19.6 \text{ N}

गतिज घर्षण बल (f_k) की गणना इस प्रकार की जाती है:

f_k = \mu_k R = 0.1 \times 19.6 \text{ N} = 1.96 \text{ N}

यह घर्षण बल लगाए गए बल की दिशा के विपरीत कार्य करता है।

(a) लगाए गए बल द्वारा 10 s में किया गया कार्य:

लगाए गए बल के कारण वस्तु में त्वरण उत्पन्न होगा। पहले हम त्वरण (a) की गणना करते हैं। वस्तु पर लगने वाला कुल क्षैतिज बल (F_{\text{net}}) है:

F_{\text{net}} = F_{\text{applied}} - f_k = 7 \text{ N} - 1.96 \text{ N} = 5.04 \text{ N}

न्यूटन के गति के दूसरे नियम (F_{\text{net}} = ma) का उपयोग करके त्वरण ज्ञात करते हैं:

a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{5.04 \text{ N}}{2 \text{ kg}} = 2.52 \text{ m/s}^2

अब, 10 सेकंड में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी (s) की गणना करते हैं, गति के दूसरे समीकरण (s = ut + \frac{1}{2}at^2) का उपयोग करके:

s = (0 \text{ m/s})(10 \text{ s}) + \frac{1}{2}(2.52 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s})^2

s = 0 + \frac{1}{2}(2.52)(100) \text{ m}

s = 1.26 \times 100 \text{ m} = 126 \text{ m}

चूंकि लगाया गया बल (F_{\text{applied}}) और विस्थापन (s) एक ही दिशा में हैं (\theta = 0^\circ), लगाए गए बल द्वारा 10 सेकंड में किया गया कार्य है:

W_{\text{applied}} = F_{\text{applied}} \times s \times \cos 0^\circ

W_{\text{applied}} = 7 \text{ N} \times 126 \text{ m} \times 1 = 882 \text{ J}

व्याख्या: लगाए गए बल ने वस्तु को 10 सेकंड में 126 मीटर तक विस्थापित किया, जिससे 882 जूल कार्य हुआ।

(b) घर्षण द्वारा 10 s में किया गया कार्य:

घर्षण बल (f_k = 1.96 \text{ N}) गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। इसलिए, घर्षण बल और विस्थापन के बीच का कोण \theta = 180^\circ है। घर्षण द्वारा 10 सेकंड में किया गया कार्य है:

W_{\text{friction}} = f_k \times s \times \cos 180^\circ

W_{\text{friction}} = 1.96 \text{ N} \times 126 \text{ m} \times (-1)

W_{\text{friction}} = -246.96 \text{ J}

व्याख्या: घर्षण बल ने वस्तु की गति का विरोध किया, जिससे 246.96 जूल का ऋणात्मक कार्य हुआ।

(c) वस्तु पर कुल बल द्वारा 10 s में किया गया कार्य:

वस्तु पर कुल बल (F_{\text{net}} = 5.04 \text{ N}) विस्थापन की दिशा में कार्य करता है (\theta = 0^\circ)। कुल बल द्वारा 10 सेकंड में किया गया कार्य है:

W_{\text{net}} = F_{\text{net}} \times s \times \cos 0^\circ

W_{\text{net}} = 5.04 \text{ N} \times 126 \text{ m} \times 1

W_{\text{net}} = 635.04 \text{ J}

वैकल्पिक रूप से, कुल कार्य लगाए गए बल द्वारा किए गए कार्य और घर्षण द्वारा किए गए कार्य का योग है:

W_{\text{net}} = W_{\text{applied}} + W_{\text{friction}} = 882 \text{ J} + (-246.96 \text{ J}) = 635.04 \text{ J}

व्याख्या: वस्तु पर लगने वाले सभी बलों का शुद्ध प्रभाव 635.04 जूल कार्य करना है।

(d) वस्तु की गतिज ऊर्जा में 10 s में परिवर्तन:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।

\Delta KE = W_{\text{net}}

\Delta KE = 635.04 \text{ J}

हम इसे वस्तु के अंतिम वेग (v) की गणना करके भी सत्यापित कर सकते हैं। गति के अंतिम समीकरण (v = u + at) का उपयोग करके:

v = 0 \text{ m/s} + (2.52 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s}) = 25.2 \text{ m/s}

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE_i) है:

KE_i = \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}(2 \text{ kg})(0 \text{ m/s})^2 = 0 \text{ J}

अंतिम गतिज ऊर्जा (KE_f) है:

KE_f = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2 \text{ kg})(25.2 \text{ m/s})^2

KE_f = 1 \times (25.2)^2 \text{ J} = 635.04 \text{ J}

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है:

\Delta KE = KE_f - KE_i = 635.04 \text{ J} - 0 \text{ J} = 635.04 \text{ J}

व्याख्या: 10 सेकंड के बाद वस्तु की गतिज ऊर्जा में 635.04 जूल की वृद्धि हुई है, जो कुल कार्य के बराबर है।