कक्षा 11 गणित: अध्याय 16 प्रायिकता NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 16, प्रायिकता के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें विभिन्न यादृच्छिक परीक्षणों के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करने पर ध्यान केंद्रित किया गया है, जैसे कि सिक्कों को उछालना और पासों को फेंकना। प्रत्येक प्रश्न के समाधान को स्पष्ट रूप से समझाया गया है, जिससे छात्रों को प्रायिकता की मूल बातें समझने में मदद मिलती है। ये समाधान छात्रों को परीक्षा की तैयारी के लिए एक मजबूत आधार प्रदान करते हैं, जिससे वे प्रायिकता से संबंधित समस्याओं को आत्मविश्वास से हल कर सकें।

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Quick info

BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter16. प्रायिकता

Chapter summary

प्रायिकता अध्याय के इस खंड में, हम यादृच्छिक परीक्षणों के प्रतिदर्श समष्टि को परिभाषित करना और ज्ञात करना सीखते हैं। समाधानों में एक सिक्का तीन बार उछालना, एक पासा दो बार फेंकना, एक सिक्का चार बार उछालना, एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना, और एक विशेष शर्त के तहत एक सिक्का उछालना और पासा फेंकना जैसे विभिन्न परिदृश्यों को शामिल किया गया है। प्रत्येक प्रश्न के लिए प्रतिदर्श समष्टि को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध किया गया है।

Learning outcomes

  • यादृच्छिक परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि की अवधारणा को समझना।
  • एक सिक्का तीन बार उछालने के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • एक पासा दो बार फेंकने के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • एक सिक्का चार बार उछालने के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • सिक्का उछालने और पासा फेंकने के संयुक्त प्रयोगों के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करना।
  • विभिन्न प्रायिकता प्रयोगों के सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करना।

Topics covered

Paper topics

  • प्रायिकता का परिचय
  • यादृच्छिक परीक्षण
  • प्रतिदर्श समष्टि
  • सिक्का उछालना
  • पासा फेंकना
  • एक सिक्के को तीन बार उछालना
  • एक पासे को दो बार फेंकना
  • एक सिक्के को चार बार उछालना
  • सिक्का और पासा का संयुक्त प्रयोग
  • सशर्त प्रयोग

Important topics

  • प्रतिदर्श समष्टि की परिभाषा
  • विभिन्न प्रयोगों के लिए प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात करना
  • सिक्का उछालने के परिणाम
  • पासा फेंकने के परिणाम
  • संयुक्त प्रयोगों के प्रतिदर्श समष्टि

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution:

किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी संभावित परिणामों के समुच्चय को उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि कहा जाता है।

जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो प्रत्येक उछाल के दो संभावित परिणाम होते हैं: चित (H) या पट (T)। तीन उछालों के लिए, कुल संभावित परिणामों की संख्या $2 \times 2 \times 2 = 8$ होती है।

इन सभी संभावित परिणामों का समुच्चय, जो कि प्रतिदर्श समष्टि (S) है, इस प्रकार है:

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

यहाँ, H चित को प्रदर्शित करता है और T पट को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 2

एक पासा दो बार फेंका गया है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution:

जब एक पासा दो बार फेंका जाता है, तो प्रत्येक फेंक पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या आ सकती है। दो बार फेंकने पर प्राप्त परिणामों को क्रमित युग्म (ordered pair) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ पहला अवयव पहली फेंक का परिणाम और दूसरा अवयव दूसरी फेंक का परिणाम होता है।

प्रतिदर्श समष्टि (S) में कुल $6 \times 6 = 36$ संभावित परिणाम होते हैं। इन परिणामों को निम्नलिखित प्रकार से सूचीबद्ध किया जा सकता है:

S = {

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

प्रश्न 3

एक सिक्का चार बार उछाला गया है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution:

जब एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है, तो प्रत्येक उछाल के दो संभावित परिणाम होते हैं: चित (H) या पट (T)। चार उछालों के लिए, कुल संभावित परिणामों की संख्या $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ होती है।

इन सभी 16 संभावित परिणामों का समुच्चय, जो कि प्रतिदर्श समष्टि (S) है, इस प्रकार है:

S = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}

यहाँ, H चित को प्रदर्शित करता है और T पट को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 4

एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है। सिक्के पर चित (H) या पट (T) प्राप्त होते हैं तथा पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या प्राप्त होती है। इस संयुक्त परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution:

इस प्रयोग में दो स्वतंत्र घटनाएँ शामिल हैं: एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना।

सिक्के के संभावित परिणाम हैं: H (चित) और T (पट)।

पासे के संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6।

संयुक्त परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि (S) इन दोनों घटनाओं के सभी संभावित संयोजनों से बनता है। प्रत्येक सिक्के के परिणाम को पासे के प्रत्येक परिणाम के साथ जोड़ा जाता है।

अतः, प्रतिदर्श समष्टि है:

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

यहाँ, H तथा T सिक्के के चित तथा पट हैं, और संख्याएँ पासे पर प्राप्त परिणाम हैं। इस प्रतिदर्श समष्टि में कुल $2 \times 6 = 12$ परिणाम हैं।

प्रश्न 5

एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के पर चित (H) प्राप्त होता है, एक पासा फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Solution:

इस प्रयोग में दो स्थितियाँ हो सकती हैं:

  1. सिक्के पर पट (T) आता है। इस स्थिति में, प्रयोग यहीं समाप्त हो जाता है।
  2. सिक्के पर चित (H) आता है। इस स्थिति में, एक पासा फेंका जाता है, जिसके परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, या 6 हो सकते हैं।

इसलिए, इस परीक्षण के सभी संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं:

S = {T, H1, H2, H3, H4, H5, H6}

यहाँ, T सिक्के पर पट को प्रदर्शित करता है, और H के साथ आने वाली संख्याएँ पासे पर प्राप्त परिणाम हैं जब सिक्का चित आता है। इस प्रतिदर्श समष्टि में कुल $1 + 6 = 7$ परिणाम हैं।

Common mistakes

  • सभी संभावित परिणामों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करने में विफलता।
  • परिणामों को दोहराना या कुछ परिणामों को छोड़ देना।
  • संयुक्त घटनाओं के प्रतिदर्श समष्टि को गलत तरीके से बनाना।
  • H (चित) और T (पट) के बीच भ्रमित होना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रयोग के लिए प्रतिदर्श समष्टि को स्वयं बनाने का अभ्यास करें।
  • H (चित) और T (पट) के लिए संकेतन को समझें।
  • यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई परिणाम छूटा नहीं है, परिणामों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करने की विधि का उपयोग करें।
  • विभिन्न प्रकार के प्रयोगों (सिक्का, पासा) के लिए प्रतिदर्श समष्टि के आकार पर ध्यान दें।

Practice MCQs

Q1. एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम होते हैं?

Q2. जब एक पासा दो बार फेंका जाता है, तो पहले फेंक पर 3 और दूसरे फेंक पर 5 आने वाले परिणाम को कैसे दर्शाया जाता है?

Q3. एक सिक्का उछाला जाता है और केवल चित आने पर ही एक पासा फेंका जाता है। इस प्रयोग का एक संभावित परिणाम क्या है?

Q4. निम्नलिखित में से कौन सा एक सिक्के को चार बार उछालने के प्रतिदर्श समष्टि का एक तत्व नहीं है?

Frequently asked questions

प्रायिकता में प्रतिदर्श समष्टि क्या है?

प्रतिदर्श समष्टि किसी यादृच्छिक परीक्षण के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय होता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि {H, T} है।

कक्षा 11 गणित के अध्याय 16 में किन मुख्य अवधारणाओं को शामिल किया गया है?

इस अध्याय में मुख्य रूप से यादृच्छिक परीक्षणों के प्रतिदर्श समष्टि को ज्ञात करने पर ध्यान केंद्रित किया गया है, जिसमें सिक्कों को उछालना और पासों को फेंकना जैसे विभिन्न प्रयोग शामिल हैं।

क्या ये समाधान कक्षा 11 की बोर्ड परीक्षा के लिए उपयोगी हैं?

हाँ, ये समाधान NCERT पाठ्यक्रम पर आधारित हैं और प्रायिकता की मूल अवधारणाओं को स्पष्ट करते हैं, जो कक्षा 11 की बोर्ड परीक्षा की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

एक सिक्के को तीन बार उछालने पर कितने संभावित परिणाम होते हैं?

एक सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल 2^3 = 8 संभावित परिणाम होते हैं। ये परिणाम हैं: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}।

एक पासे को दो बार फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि कैसे लिखा जाता है?

एक पासे को दो बार फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि को क्रमित युग्मों के रूप में लिखा जाता है, जैसे (1, 1), (1, 2),..., (6, 6)। कुल 6 x 6 = 36 परिणाम होते हैं।

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