कक्षा 10 गणित: अध्याय 11 रचनाएँ - NCERT समाधान

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:

1. एक रेखाखंड AB खींचिए जिसकी लंबाई 7.6 cm हो।
2. बिंदु A से एक किरण AX खींचिए जो AB के साथ एक न्यून कोण बनाती हो।
3. किरण AX पर, 5 + 8 = 13 बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे सभी समान दूरी पर हों (मान लीजिए $A_1, A_2, ..., A_{13}$)।
4. बिंदु $A_8$ (क्योंकि 5 + 8 = 13, और हमें 5:8 का अनुपात चाहिए, तो हम 8वें बिंदु को B से मिलाएंगे) को बिंदु B से मिलाइए।
5. बिंदु $A_8$ से होकर जाने वाली रेखाखंड AB के समानांतर एक रेखा खींचिए। यह रेखाखंड AB को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करेगी।
6. मापने पर, रेखाखंड AP और PB क्रमशः 5:8 के अनुपात में होंगे। आप परकार और रूलर का उपयोग करके इन भागों की लंबाई माप सकते हैं।

रचना के बाद, AP की लंबाई लगभग 2.9 cm और PB की लंबाई लगभग 4.7 cm होनी चाहिए, जिनका योग 7.6 cm है।

इस प्रश्न में, हमें दिए गए त्रिभुज के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2 गुनी हों। यहाँ समरूपता अनुपात $k = 2$ है।

चरण 1: मूल त्रिभुज की रचना

1. एक रेखाखंड BC खींचिए जिसकी लंबाई 5 cm हो।
2. बिंदु B पर 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए (क्योंकि हम मान रहे हैं कि 4cm, 5cm, 6cm भुजाओं वाले त्रिभुज में कोणों का निर्धारण किया जा सकता है, या प्रश्न में कोण दिए गए होंगे। यदि कोण नहीं दिए गए हैं, तो हम भुजाओं के आधार पर रचना करेंगे)। मान लीजिए हम 5cm भुजा को आधार BC मानते हैं।
3. बिंदु C से एक चाप लगाइए जिसकी त्रिज्या 6 cm हो और बिंदु B से एक चाप लगाइए जिसकी त्रिज्या 4 cm हो। ये चाप बिंदु A पर प्रतिच्छेद करेंगे।
4. AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार त्रिभुज ABC की रचना होगी।

चरण 2: समरूप त्रिभुज की रचना

1. त्रिभुज ABC के आधार BC के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BY पर, $2+1=3$ बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे समान दूरी पर हों (मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$)। यहाँ हम अनुपात 2 को 2/1 के रूप में ले रहे हैं।
3. बिंदु $B_2$ को C से मिलाइए।
4. बिंदु $B_2$ से होकर जाने वाली रेखा $B_2C'$ खींचिए जो BC के समानांतर हो। यह रेखा BX को A' पर प्रतिच्छेद करेगी।
5. बिंदु A' से होकर जाने वाली रेखा A'B' खींचिए जो AC के समानांतर हो। यह रेखा BY को B पर प्रतिच्छेद करेगी।

इस प्रकार, त्रिभुज A'BC' मूल त्रिभुज ABC के समरूप होगा और इसकी भुजाएँ संगत भुजाओं की 2 गुनी होंगी।

इस प्रश्न में, हमें दिए गए त्रिभुज के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2 गुनी हों। यहाँ समरूपता अनुपात $k = 2$ है।

चरण 1: मूल त्रिभुज की रचना

1. एक रेखाखंड, मान लीजिए BC, की लंबाई 6 cm खींचिए।
2. बिंदु B से 5 cm त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
3. बिंदु C से 7 cm त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
4. दोनों चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु को A नाम दीजिए।
5. AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार त्रिभुज ABC की रचना होगी।

चरण 2: समरूप त्रिभुज की रचना

1. त्रिभुज ABC के आधार BC के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BY पर, $2+1=3$ बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे समान दूरी पर हों (मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$)। यहाँ हम अनुपात 2 को 2/1 के रूप में ले रहे हैं।
3. बिंदु $B_2$ को C से मिलाइए।
4. बिंदु $B_2$ से होकर जाने वाली रेखा $B_2C'$ खींचिए जो BC के समानांतर हो। यह रेखा BX को A' पर प्रतिच्छेद करेगी।
5. बिंदु A' से होकर जाने वाली रेखा A'B' खींचिए जो AC के समानांतर हो। यह रेखा BY को B पर प्रतिच्छेद करेगी।

इस प्रकार, त्रिभुज A'BC' मूल त्रिभुज ABC के समरूप होगा और इसकी भुजाएँ संगत भुजाओं की 2 गुनी होंगी।

यहाँ हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करनी है जिसका आधार 8 cm और ऊँचाई 4 cm है। फिर हमें इसके समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं की 11 गुनी हों। यहाँ समरूपता अनुपात $k = \frac{3}{2}$ है।

चरण 1: समद्विबाहु त्रिभुज की रचना

1. एक रेखाखंड BC खींचिए जिसकी लंबाई 8 cm हो।
2. BC के मध्य बिंदु M पर एक लंब खींचिए।
3. बिंदु M से लंब पर 4 cm की दूरी पर बिंदु A अंकित कीजिए (यह त्रिभुज की ऊँचाई होगी)।
4. A को B और C से मिलाइए। इस प्रकार समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना होगी।

चरण 2: समरूप त्रिभुज की रचना

1. त्रिभुज ABC के आधार BC के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BY पर, 3 बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे समान दूरी पर हों (क्योंकि अनुपात 3/2 है, हम 3 बिंदु लेंगे: $B_1, B_2, B_3$)।
3. बिंदु $B_2$ को C से मिलाइए।
4. बिंदु $B_3$ से होकर जाने वाली रेखा $B_3C'$ खींचिए जो BC के समानांतर हो। यह रेखा BX को A' पर प्रतिच्छेद करेगी।
5. बिंदु A' से होकर जाने वाली रेखा A'B' खींचिए जो AC के समानांतर हो। यह रेखा BY को B पर प्रतिच्छेद करेगी।

इस प्रकार, त्रिभुज A'BC' मूल त्रिभुज ABC के समरूप होगा और इसकी भुजाएँ संगत भुजाओं की 3/2 गुनी होंगी।

यहाँ हमें दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2 गुनी हों। यहाँ समरूपता अनुपात $k = 2$ है।

चरण 1: त्रिभुज ABC की रचना

1. एक रेखाखंड BC खींचिए जिसकी लंबाई 6 cm हो।
2. बिंदु B पर 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।
3. किरण BX पर, AB = 5 cm मापकर बिंदु A अंकित कीजिए।
4. A को C से मिलाइए। इस प्रकार त्रिभुज ABC की रचना होगी।

चरण 2: समरूप त्रिभुज की रचना

1. त्रिभुज ABC के आधार BC के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BY पर, $2+1=3$ बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे समान दूरी पर हों (मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$)। यहाँ हम अनुपात 2 को 2/1 के रूप में ले रहे हैं।
3. बिंदु $B_2$ को C से मिलाइए।
4. बिंदु $B_2$ से होकर जाने वाली रेखा $B_2C'$ खींचिए जो BC के समानांतर हो। यह रेखा BX को A' पर प्रतिच्छेद करेगी।
5. बिंदु A' से होकर जाने वाली रेखा A'B' खींचिए जो AC के समानांतर हो। यह रेखा BY को B पर प्रतिच्छेद करेगी।

इस प्रकार, त्रिभुज A'BC' मूल त्रिभुज ABC के समरूप होगा और इसकी भुजाएँ संगत भुजाओं की 2 गुनी होंगी।

यहाँ हमें दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2 गुनी हों। यहाँ समरूपता अनुपात $k = 2$ है।

चरण 1: त्रिभुज ABC की रचना

1. एक रेखाखंड BC खींचिए जिसकी लंबाई 7 cm हो।
2. बिंदु B पर 45° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।
3. चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (105° + 45°) = 180° - 150° = 30°।
4. बिंदु C पर 30° का कोण बनाते हुए एक किरण CY खींचिए।
5. किरण BX और CY एक दूसरे को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करेंगे। इस प्रकार त्रिभुज ABC की रचना होगी।

चरण 2: समरूप त्रिभुज की रचना

1. त्रिभुज ABC के आधार BC के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BY पर, $2+1=3$ बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे समान दूरी पर हों (मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$)। यहाँ हम अनुपात 2 को 2/1 के रूप में ले रहे हैं।
3. बिंदु $B_2$ को C से मिलाइए।
4. बिंदु $B_2$ से होकर जाने वाली रेखा $B_2C'$ खींचिए जो BC के समानांतर हो। यह रेखा BX को A' पर प्रतिच्छेद करेगी।
5. बिंदु A' से होकर जाने वाली रेखा A'B' खींचिए जो AC के समानांतर हो। यह रेखा BY को B पर प्रतिच्छेद करेगी।

इस प्रकार, त्रिभुज A'BC' मूल त्रिभुज ABC के समरूप होगा और इसकी भुजाएँ संगत भुजाओं की 2 गुनी होंगी।

यहाँ हमें एक समकोण त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी लंबवत भुजाएँ 4 cm और 3 cm हैं। फिर हमें इसके समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हों। यहाँ समरूपता अनुपात $k = \frac{5}{3}$ है।

चरण 1: समकोण त्रिभुज की रचना

1. एक रेखाखंड AB खींचिए जिसकी लंबाई 3 cm हो।
2. बिंदु A पर 90° का कोण बनाते हुए एक किरण AX खींचिए।
3. किरण AX पर, AC = 4 cm मापकर बिंदु C अंकित कीजिए।
4. C को B से मिलाइए। इस प्रकार समकोण त्रिभुज ABC की रचना होगी, जिसमें ∠A = 90°, AB = 3 cm और AC = 4 cm है।

चरण 2: समरूप त्रिभुज की रचना

1. त्रिभुज ABC के आधार AB के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण AY खींचिए।
2. किरण AY पर, 5 बिंदु इस प्रकार अंकित करें कि वे समान दूरी पर हों (क्योंकि अनुपात 5/3 है, हम 5 बिंदु लेंगे: $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$)।
3. बिंदु $A_3$ को B से मिलाइए।
4. बिंदु $A_5$ से होकर जाने वाली रेखा $A_5B'$ खींचिए जो AB के समानांतर हो। यह रेखा AY को C' पर प्रतिच्छेद करेगी।
5. बिंदु C' से होकर जाने वाली रेखा C'B' खींचिए जो CB के समानांतर हो। यह रेखा AY को B' पर प्रतिच्छेद करेगी।

इस प्रकार, त्रिभुज AB'C' मूल त्रिभुज ABC के समरूप होगा और इसकी भुजाएँ संगत भुजाओं की 5/3 गुनी होंगी।