कक्षा 12 गणित NCERT समाधान: अध्याय 5 - सांतत्य तथा अवकलनीयता

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यह पृष्ठ कक्षा 12 गणित के अध्याय 5, 'सांतत्य तथा अवकलनीयता' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें प्रश्नावली 5.1 के प्रश्नों के हल शामिल हैं, जो फलनों के सांतत्य की जाँच पर केंद्रित हैं। समाधानों में प्रत्येक बिंदु पर फलन के मान, बाईं पक्ष की सीमा और दाईं पक्ष की सीमा की गणना करके सांतत्य का परीक्षण करने की प्रक्रिया को स्पष्ट किया गया है। यह सामग्री छात्रों को विभिन्न प्रकार के फलनों, जैसे रैखिक, द्विघात, परिमेय और मापांक फलनों के सांतत्य को समझने में मदद करती है। प्रत्येक प्रश्न का चरण-दर-चरण विश्लेषण छात्रों को अवधारणाओं को गहराई से समझने और परीक्षा की तैयारी के लिए एक मजबूत आधार बनाने में सहायता करता है।

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BoardCBSE
ClassClass 12
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter5. सांतत्य तथा अवकलनीयता

Chapter summary

यह अध्याय 5, 'सांतत्य तथा अवकलनीयता' के NCERT समाधानों का एक संग्रह है, जो विशेष रूप से प्रश्नावली 5.1 पर केंद्रित है। इसमें विभिन्न फलनों के दिए गए बिंदुओं पर सांतत्य की जाँच करने के तरीके बताए गए हैं। समाधानों में फलन के मान की गणना, बाईं और दाईं सीमाओं का मूल्यांकन और उनकी तुलना करके सांतत्य की पुष्टि करने की प्रक्रिया शामिल है। यह छात्रों को विभिन्न प्रकार के फलनों के सांतत्य की अवधारणा को समझने में मदद करता है।

Learning outcomes

  • किसी दिए गए बिंदु पर फलन के सांतत्य की जाँच करना सीखें।
  • बाईं और दाईं सीमाओं की गणना करके सांतत्य का परीक्षण करें।
  • रैखिक, द्विघात, परिमेय और मापांक फलनों के सांतत्य को समझें।
  • किसी फलन के सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत होने की स्थिति को पहचानें।
  • सांतत्य की अवधारणा को व्यावहारिक रूप से लागू करना सीखें।

Topics covered

Paper topics

  • फलन का सांतत्य
  • सांतत्य की जाँच
  • किसी बिंदु पर सांतत्य
  • बाईं पक्ष की सीमा
  • दाईं पक्ष की सीमा
  • रैखिक फलन का सांतत्य
  • द्विघात फलन का सांतत्य
  • परिमेय फलन का सांतत्य
  • मापांक फलन का सांतत्य
  • सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सांतत्य

Important topics

  • किसी बिंदु पर फलन के सांतत्य की जाँच करना
  • बाईं और दाईं सीमाओं का उपयोग
  • परिमेय फलनों का सांतत्य
  • मापांक फलनों का सांतत्य
  • सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सांतत्य

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Questions and Solutions

प्रश्न 1:

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = 5x - 3$, $x = 0$, $x = -3$ तथा $x = 5$ पर संतत है।
Solution:

दिया गया फलन $f(x) = 5x - 3$ है। सांतत्य की जाँच के लिए, हमें प्रत्येक बिंदु पर फलन के मान, बाईं पक्ष की सीमा और दाईं पक्ष की सीमा की गणना करनी होगी।

1. बिंदु $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:

  • फलन का मान: $f(0) = 5(0) - 3 = -3$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 0^-} f(x) = \lim_{x o 0^-} (5x - 3) = 5(0) - 3 = -3$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 0^+} f(x) = \lim_{x o 0^+} (5x - 3) = 5(0) - 3 = -3$

चूँकि, $\lim_{x o 0^-} f(x) = \lim_{x o 0^+} f(x) = f(0) = -3$, अतः फलन $x = 0$ पर संतत है।

2. बिंदु $x = -3$ पर सांतत्य की जाँच:

  • फलन का मान: $f(-3) = 5(-3) - 3 = -15 - 3 = -18$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o -3^-} f(x) = \lim_{x o -3^-} (5x - 3) = 5(-3) - 3 = -18$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o -3^+} f(x) = \lim_{x o -3^+} (5x - 3) = 5(-3) - 3 = -18$

चूँकि, $\lim_{x o -3^-} f(x) = \lim_{x o -3^+} f(x) = f(-3) = -18$, अतः फलन $x = -3$ पर संतत है।

3. बिंदु $x = 5$ पर सांतत्य की जाँच:

  • फलन का मान: $f(5) = 5(5) - 3 = 25 - 3 = 22$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 5^-} f(x) = \lim_{x o 5^-} (5x - 3) = 5(5) - 3 = 22$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 5^+} f(x) = \lim_{x o 5^+} (5x - 3) = 5(5) - 3 = 22$

चूँकि, $\lim_{x o 5^-} f(x) = \lim_{x o 5^+} f(x) = f(5) = 22$, अतः फलन $x = 5$ पर संतत है।

निष्कर्ष: फलन $f(x) = 5x - 3$ दिए गए सभी बिंदुओं $x = 0$, $x = -3$, और $x = 5$ पर संतत है।

प्रश्न 2:

$x=3$ पर फलन $f(x)=2x^2-1$ के सांतत्य की जाँच कीजिए।
Solution:

दिया गया फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ है। हमें बिंदु $x = 3$ पर इसके सांतत्य की जाँच करनी है।

  • फलन का मान: $f(3) = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 3^-} f(x) = \lim_{x o 3^-} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 3^+} f(x) = \lim_{x o 3^+} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17$

चूँकि, बाईं पक्ष की सीमा ($\lim_{x o 3^-} f(x)$) = दाईं पक्ष की सीमा ($\lim_{x o 3^+} f(x)$) = फलन का मान ($f(3)$) = 17, अतः फलन $f(x) = 2x^2 - 1$, $x = 3$ पर संतत है।

प्रश्न 3:

निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए:

(a) $f(x) = x - 5$

(b) $f(x) = \frac{1}{x-5}, x \neq 5$

(c) $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}, x \neq -5$

(d) $f(x) = |x - 5|$

Solution:

(a) फलन $f(x) = x - 5$ का सांतत्य:

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है।

  • फलन का मान: $f(k) = k - 5$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o k^-} f(x) = \lim_{x o k^-} (x - 5) = k - 5$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o k^+} f(x) = \lim_{x o k^+} (x - 5) = k - 5$

चूँकि, $\lim_{x o k^-} f(x) = \lim_{x o k^+} f(x) = f(k) = k - 5$, अतः फलन $f(x) = x - 5$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

(b) फलन $f(x) = \frac{1}{x-5}, x \neq 5$ का सांतत्य:

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है जहाँ $k \neq 5$।

  • फलन का मान: $f(k) = \frac{1}{k-5}$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o k^-} f(x) = \lim_{x o k^-} \left(\frac{1}{x-5}\right) = \frac{1}{k-5}$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o k^+} f(x) = \lim_{x o k^+} \left(\frac{1}{x-5}\right) = \frac{1}{k-5}$

चूँकि, $\lim_{x o k^-} f(x) = \lim_{x o k^+} f(x) = f(k) = \frac{1}{k-5}$, अतः फलन $f(x) = \frac{1}{x-5}$ सभी वास्तविक संख्याओं (सिवाय $x=5$ के) के लिए संतत है।

(c) फलन $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}, x \neq -5$ का सांतत्य:

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है जहाँ $k \neq -5$।

पहले फलन को सरल करें: $f(x) = \frac{(x-5)(x+5)}{x+5} = x-5$ (जब $x \neq -5$)।

  • फलन का मान: $f(k) = k - 5$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o k^-} f(x) = \lim_{x o k^-} (x - 5) = k - 5$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o k^+} f(x) = \lim_{x o k^+} (x - 5) = k - 5$

चूँकि, $\lim_{x o k^-} f(x) = \lim_{x o k^+} f(x) = f(k) = k - 5$, अतः फलन $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}$ सभी वास्तविक संख्याओं (सिवाय $x=-5$ के) के लिए संतत है।

(d) फलन $f(x) = |x - 5|$ का सांतत्य:

फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

f(x) = \begin{cases} 5 - x, & x < 5 \ x - 5, & x \ge 5 \end{cases}

माना $k$ कोई वास्तविक संख्या है।

  • स्थिति 1: यदि $k < 5$

फलन $f(x) = 5 - x$।

  • फलन का मान: $f(k) = 5 - k$
  • सीमा: $\lim_{x o k} f(x) = \lim_{x o k} (5 - x) = 5 - k$

चूँकि $\lim_{x o k} f(x) = f(k)$, फलन $k < 5$ के लिए संतत है।

  • स्थिति 2: यदि $k = 5$
  • फलन का मान: $f(5) = 5 - 5 = 0$
  • बाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 5^-} f(x) = \lim_{x o 5^-} (5 - x) = 5 - 5 = 0$
  • दाईं पक्ष की सीमा: $\lim_{x o 5^+} f(x) = \lim_{x o 5^+} (x - 5) = 5 - 5 = 0$

चूँकि $\lim_{x o 5^-} f(x) = \lim_{x o 5^+} f(x) = f(5) = 0$, फलन $x = 5$ पर संतत है।

  • स्थिति 3: यदि $k > 5$

फलन $f(x) = x - 5$।

  • फलन का मान: $f(k) = k - 5$
  • सीमा: $\lim_{x o k} f(x) = \lim_{x o k} (x - 5) = k - 5$

चूँकि $\lim_{x o k} f(x) = f(k)$, फलन $k > 5$ के लिए संतत है।

निष्कर्ष: उपरोक्त तीनों स्थितियों से, फलन $f(x) = |x - 5|$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

Common mistakes

  • बाईं और दाईं सीमाओं की गणना में त्रुटियाँ करना।
  • फलन के मान की गणना में गलती करना।
  • सीमाओं और फलन के मान की तुलना करते समय चूक करना।
  • मापांक फलनों के विभिन्न मामलों को ठीक से न संभालना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए सीमा और फलन मान की गणना पर ध्यान केंद्रित करें।
  • सांतत्य की परिभाषा को अच्छी तरह समझें: बाईं सीमा = दाईं सीमा = फलन का मान।
  • विभिन्न प्रकार के फलनों (रैखिक, परिमेय, मापांक) के लिए समाधानों का अभ्यास करें।
  • उन बिंदुओं पर विशेष ध्यान दें जहाँ फलन अपरिभाषित हो सकता है (जैसे परिमेय फलनों में)।

Practice MCQs

Q1. फलन $f(x) = 5x - 3$ किस बिंदु पर संतत है?

Q2. फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ के लिए $x=3$ पर सांतत्य की जाँच करने पर क्या परिणाम मिलता है?

Q3. फलन $f(x) = \frac{1}{x-5}$ किस बिंदु पर असंतत है?

Q4. फलन $f(x) = |x - 5|$ के सांतत्य के बारे में क्या सत्य है?

Q5. फलन $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}$ के लिए $x = -5$ पर सांतत्य की क्या स्थिति है?

Frequently asked questions

सांतत्य तथा अवकलनीयता (अध्याय 5) में NCERT समाधान क्या कवर करते हैं?

यह समाधान अध्याय 5, विशेष रूप से प्रश्नावली 5.1, के प्रश्नों को कवर करते हैं, जो विभिन्न फलनों के दिए गए बिंदुओं पर सांतत्य की जाँच पर केंद्रित हैं।

किसी फलन के सांतत्य की जाँच कैसे की जाती है?

किसी बिंदु 'a' पर फलन f(x) के सांतत्य की जाँच करने के लिए, हमें यह सत्यापित करना होगा कि बाईं पक्ष की सीमा ($\lim_{x o a^-} f(x)$), दाईं पक्ष की सीमा ($\lim_{x o a^+} f(x)$), और फलन का मान $f(a)$ बराबर हैं।

क्या ये समाधान कक्षा 12 के छात्रों के लिए उपयोगी हैं?

हाँ, ये समाधान कक्षा 12 के छात्रों के लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए हैं ताकि वे सांतत्य की अवधारणा को आसानी से समझ सकें और परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयारी कर सकें।

मापांक फलन $|x-5|$ का सांतत्य कैसे सिद्ध किया जाता है?

मापांक फलन $|x-5|$ को दो भागों में परिभाषित किया जा सकता है: $5-x$ (जब $x<5$) और $x-5$ (जब $x \ge 5$)। प्रत्येक भाग के लिए अलग-अलग सांतत्य की जाँच की जाती है, और यह पाया जाता है कि यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए संतत है।

परिमेय फलन $\frac{1}{x-5}$ किस बिंदु पर असंतत है?

परिमेय फलन $\frac{1}{x-5}$ बिंदु $x=5$ पर असंतत है, क्योंकि इस बिंदु पर फलन का हर शून्य हो जाता है, जिससे फलन अपरिभाषित हो जाता है।

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