कक्षा 11 भौतिकी: कणों के नियम तथा घूर्णी गति NCERT समाधान

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यह खंड कक्षा 11 भौतिकी के अध्याय 7, 'कणों के निकाय तथा घूर्णी गति' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों जैसे गोला, सिलेंडर, छल्ला और घन के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति का निर्धारण, HCl अणु जैसे द्विपरमाणुक अणुओं के द्रव्यमान केंद्र की गणना, और एक बंद निकाय में द्रव्यमान केंद्र की गति के सिद्धांत शामिल हैं। समाधान यह भी स्पष्ट करते हैं कि द्रव्यमान केंद्र हमेशा वस्तु के भीतर स्थित नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, यह अध्याय सदिशों के क्रॉस गुणनफल का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना को भी शामिल करता है। ये समाधान छात्रों को इन महत्वपूर्ण अवधारणाओं को गहराई से समझने और परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयारी करने में सहायता करते हैं।

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectभौतिक विज्ञान
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter7. कणों के नियम तथा घूर्णी गति

Chapter summary

कक्षा 11 भौतिकी के अध्याय 7 के ये NCERT समाधान कणों के निकाय और घूर्णी गति की मूलभूत अवधारणाओं पर केंद्रित हैं। इसमें विभिन्न आकृतियों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात करना, द्रव्यमान केंद्र की गति के सिद्धांत को समझना और सदिशों के क्रॉस गुणनफल के अनुप्रयोग शामिल हैं। ये समाधान छात्रों को सैद्धांतिक ज्ञान के साथ-साथ व्यावहारिक गणनाओं में भी सहायता करते हैं।

Learning outcomes

  • विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति निर्धारित करना।
  • द्रव्यमान केंद्र की गणना के लिए सूत्र लागू करना।
  • यह समझना कि द्रव्यमान केंद्र हमेशा वस्तु के भीतर स्थित नहीं होता है।
  • सदिशों के क्रॉस गुणनफल का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना।
  • एक बंद निकाय में द्रव्यमान केंद्र की गति के सिद्धांत को समझना।

Topics covered

Paper topics

  • द्रव्यमान केंद्र की अवधारणा
  • ज्यामितीय आकृतियों के द्रव्यमान केंद्र
  • द्विपरमाणुक अणुओं का द्रव्यमान केंद्र
  • द्रव्यमान केंद्र की गति
  • आंतरिक और बाह्य बल
  • सदिश गुणनफल
  • त्रिभुज का क्षेत्रफल सदिश विधि से

Important topics

  • द्रव्यमान केंद्र की स्थिति का निर्धारण
  • द्रव्यमान केंद्र की गति का सिद्धांत
  • सदिशों का क्रॉस गुणनफल
  • ज्यामितीय आकृतियों के द्रव्यमान केंद्र

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

**एकसमान द्रव्यमान घनत्व वाले निम्नलिखित पिण्डों में प्रत्येक के द्रव्यमान केन्द्र की अवस्थिति लिखिए:**
  1. गोला
  2. सिलेण्डर
  3. छल्ला
  4. घन
**क्या किसी पिण्ड का द्रव्यमान केन्द्र आवश्यक रूप से उस पिण्ड के भीतर स्थित होता है?**
Solution:

एकसमान द्रव्यमान घनत्व वाले विभिन्न पिण्डों के द्रव्यमान केन्द्र की अवस्थिति इस प्रकार है:

  1. गोला: गोले का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
  2. सिलेण्डर: एकसमान बेलन (सिलेण्डर) का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है, जो बेलन की अक्ष के मध्य बिंदु पर होता है।
  3. छल्ला: एकसमान छल्ले का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है।
  4. घन: घन का द्रव्यमान केन्द्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है, जहाँ उसके सभी विकर्ण एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।

क्या द्रव्यमान केंद्र हमेशा पिण्ड के भीतर होता है?

यह आवश्यक नहीं है कि किसी पिण्ड का द्रव्यमान केंद्र हमेशा उसके भीतर ही स्थित हो। ऐसे कई पिण्ड हैं जिनका द्रव्यमान केंद्र उनके बाहर स्थित होता है, जैसे कि एक छल्ला, एक खोखला बेलन, या एक खोखला घन। इन मामलों में, द्रव्यमान केंद्र ज्यामितीय केंद्र पर होता है, लेकिन उस बिंदु पर कोई भौतिक द्रव्यमान मौजूद नहीं होता है।

प्रश्न 2

**HCl अणु में दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच पृथकन लगभग $1.27 \, \mathrm{\AA}$ ($1 \, \mathrm{\AA} = 10^{-10} \, \mathrm{m}$) है। इस अणु के द्रव्यमान केन्द्र की लगभग अवस्थिति ज्ञात कीजिए। यह ज्ञात है कि क्लोरीन का परमाणु हाइड्रोजन के परमाणु की तुलना में 35.5 गुना भारी होता है तथा किसी परमाणु का समस्त द्रव्यमान उसके नाभिक पर केन्द्रित होता है।**
Solution:

मान लीजिए हाइड्रोजन (H) परमाणु का द्रव्यमान $m_1$ है और क्लोरीन (Cl) परमाणु का द्रव्यमान $m_2$ है। प्रश्न के अनुसार, $m_2 = 35.5 \, m_1$।

माना हाइड्रोजन परमाणु मूल बिंदु पर स्थित है, इसलिए इसका स्थिति सदिश $\mathbf{r}_1 = 0$ है।

दोनों नाभिकों के बीच की दूरी $d = 1.27 \, \mathrm{\AA} = 1.27 \times 10^{-10} \, \mathrm{m}$ है। चूँकि हाइड्रोजन मूल बिंदु पर है, क्लोरीन परमाणु का स्थिति सदिश $\mathbf{r}_2 = d = 1.27 \times 10^{-10} \, \mathrm{m}$ होगा (एक-विमीय गति मानते हुए)।

निकाय के द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\mathbf{r}_{CM} = \frac{m_1 \, \mathbf{r}_1 + m_2 \, \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}

मान रखने पर:

\mathbf{r}_{CM} = \frac{m_1 \times 0 + (35.5 \, m_1) \times (1.27 \times 10^{-10} \, \mathrm{m})}{m_1 + 35.5 \, m_1}

\mathbf{r}_{CM} = \frac{35.5 \, m_1 \times 1.27 \times 10^{-10} \, \mathrm{m}}{36.5 \, m_1}

\mathbf{r}_{CM} = \frac{35.5}{36.5} \times 1.27 \times 10^{-10} \, \mathrm{m}

\mathbf{r}_{CM} \approx 0.9726 \times 1.27 \times 10^{-10} \, \mathrm{m}

\mathbf{r}_{CM} \approx 1.235 \times 10^{-10} \, \mathrm{m}

इसे एंगस्ट्रॉम (Å) में बदलने पर:

\mathbf{r}_{CM} \approx 1.24 \, \mathrm{\AA}

अतः, HCl अणु के द्रव्यमान केंद्र की अवस्थिति हाइड्रोजन परमाणु के नाभिक से लगभग $1.24 \, \mathrm{\AA}$ की दूरी पर क्लोरीन परमाणु की ओर स्थित है।

प्रश्न 3

**कोई बच्चा किसी चिकने क्षैतिज फर्श पर एकसमान चाल $v$ से गतिमान किसी लम्बी ट्रॉली के एक सिरे पर बैठा है। यदि बच्चा खड़ा होकर ट्रॉली पर किसी भी प्रकार से दौड़ने लगता है, तब निकाय (ट्रॉली + बच्चा) के द्रव्यमान केन्द्र की चाल क्या है?**
Solution:

जब बच्चा ट्रॉली पर बैठा होता है और ट्रॉली एकसमान चाल $v$ से गति कर रही होती है, तो निकाय (ट्रॉली + बच्चा) का द्रव्यमान केंद्र भी उसी चाल $v$ से गति कर रहा होता है।

जब बच्चा खड़ा होकर ट्रॉली पर दौड़ना शुरू करता है, तो बच्चे द्वारा ट्रॉली पर लगाए गए बल आंतरिक बल होते हैं। यदि हम निकाय (ट्रॉली + बच्चा) को एक समग्र प्रणाली मानें और फर्श को चिकना (घर्षण रहित) मानें, तो इस निकाय पर कोई बाह्य क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा होता है।

न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार, यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता है, तो उसका संवेग संरक्षित रहता है। चूँकि द्रव्यमान केंद्र की गति केवल निकाय पर लगने वाले बाह्य बलों पर निर्भर करती है, और यहाँ कोई बाह्य क्षैतिज बल नहीं है, इसलिए निकाय के द्रव्यमान केंद्र की चाल अपरिवर्तित रहेगी।

अतः, बच्चे के दौड़ने के बावजूद, निकाय (ट्रॉली + बच्चा) के द्रव्यमान केन्द्र की चाल नियत $v$ ही रहेगी।

प्रश्न 4

**दर्शाइए कि $a$ एवं $b$ के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ के परिमाण का आधा है।**
Solution:

माना सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ एक त्रिभुज की दो संलग्न भुजाओं को निरूपित करते हैं, जो बिंदु O से शुरू होती हैं। माना इन सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है। त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, जहाँ OA = $\mathbf{a}$ और OB = $\mathbf{b}$।

त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है: $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$।

यदि हम OB को आधार मानें, तो आधार की लम्बाई $|\mathbf{b}|$ होगी। बिंदु A से OB पर डाले गए लम्ब (ऊँचाई) की लम्बाई $h$ होगी।

समकोण त्रिभुज में, $h = |\mathbf{a}| \sin \theta$।

इसलिए, त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल होगा:

\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times |\mathbf{b}| \times (|\mathbf{a}| \sin \theta)

\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta

अब, दो सदिशों $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के सदिश गुणनफल (cross product) का परिमाण निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:

|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta

इस प्रकार, हम देख सकते हैं कि:

\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|

यह सिद्ध करता है कि $a$ और $b$ द्वारा निरूपित संलग्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल, सदिश गुणनफल $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$ के परिमाण का आधा होता है।

Common mistakes

  • द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को हमेशा वस्तु के भीतर मानना।
  • सदिशों के क्रॉस गुणनफल के परिमाण की गणना में त्रुटियाँ करना।
  • द्रव्यमान और स्थिति सदिशों को सही ढंग से न मानना।

Revision tips

  • प्रत्येक ज्यामितीय आकृति के लिए द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को याद करें।
  • द्रव्यमान केंद्र की गणना के सूत्रों का अभ्यास करें।
  • सदिशों के क्रॉस गुणनफल के अनुप्रयोगों पर विशेष ध्यान दें।
  • उन उदाहरणों को समझें जहाँ द्रव्यमान केंद्र वस्तु के बाहर स्थित होता है।

Practice MCQs

Q1. एक छल्ले का द्रव्यमान केंद्र कहाँ स्थित होता है?

Q2. यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, तो निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति के बारे में क्या कहा जा सकता है?

Q3. HCl अणु में, क्लोरीन परमाणु हाइड्रोजन परमाणु की तुलना में कितना भारी होता है?

Q4. दो सदिशों a और b के सदिश गुणनफल का परिमाण किसके बराबर होता है?

Frequently asked questions

कक्षा 11 भौतिकी के अध्याय 7 में मुख्य रूप से किन विषयों को शामिल किया गया है?

अध्याय 7 मुख्य रूप से कणों के निकाय और घूर्णी गति पर केंद्रित है, जिसमें द्रव्यमान केंद्र की अवधारणा, विभिन्न आकृतियों के लिए इसकी गणना, और सदिशों के क्रॉस गुणनफल का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना शामिल है।

क्या द्रव्यमान केंद्र हमेशा वस्तु के भौतिक भाग पर स्थित होता है?

नहीं, द्रव्यमान केंद्र आवश्यक रूप से वस्तु के भीतर स्थित नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक छल्ले या खोखले घन का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है, जो वस्तु के बाहर होता है।

द्रव्यमान केंद्र की गति का सिद्धांत क्या है?

यह सिद्धांत बताता है कि किसी कणों के निकाय का द्रव्यमान केंद्र, यदि उस पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है, तो या तो स्थिर रहेगा या एकसमान वेग से सीधी रेखा में गति करेगा।

सदिशों के क्रॉस गुणनफल का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है?

यदि सदिश a और b त्रिभुज की दो संलग्न भुजाओं को निरूपित करते हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल उनके क्रॉस गुणनफल के परिमाण का आधा होता है, अर्थात् (1/2) |a × b|।

ये NCERT समाधान छात्रों की परीक्षा तैयारी में कैसे मदद करते हैं?

ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के विस्तृत और स्पष्ट उत्तर प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को समझने और समस्या-समाधान कौशल विकसित करने में मदद मिलती है, जो परीक्षा में सफलता के लिए महत्वपूर्ण है।

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