कक्षा 11 भौतिकी अध्याय 14: दोलन NCERT समाधान

आवर्ती गति वह गति है जो एक निश्चित समय अंतराल के बाद स्वयं को दोहराती है। आइए प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें:

1. (a) तैराक की गति: जब तैराक एक तट से दूसरे तट तक जाकर वापस आता है, तो यह एक पूर्ण चक्र है। यदि वह इस प्रक्रिया को दोहराता है, तो यह आवर्ती हो सकती है। हालाँकि, प्रश्न में केवल एक यात्रा और वापसी यात्रा का उल्लेख है, जो एक पूर्ण चक्र को परिभाषित करता है। यदि यह एक बार की यात्रा है, तो यह आवर्ती नहीं है। यदि यह एक दोहराई जाने वाली क्रिया है, तो यह आवर्ती है। दिए गए संदर्भ में, यह एक पूर्ण यात्रा का वर्णन करता है, इसलिए यह आवश्यक रूप से आवर्ती नहीं है जब तक कि यात्रा दोहराई न जाए।
2. (b) दंड चुम्बक की गति: जब एक दंड चुम्बक को उसकी साम्यावस्था (N-S दिशा) से विस्थापित करके छोड़ा जाता है, तो यह अपनी मध्यमान स्थिति के चारों ओर दोलन करता है। यह गति एक निश्चित समय अंतराल के बाद दोहराई जाती है, इसलिए यह एक आवर्ती गति है।
3. (c) हाइड्रोजन अणु की घूर्णी गति: अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः किसी अणु की घूर्णी गति आवर्ती होती है क्योंकि यह एक निश्चित समय में एक पूर्ण चक्कर पूरा करती है और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है।
4. (d) तीर की गति: कमान से छोड़ा गया तीर एक प्रक्षेप्य गति करता है। यह गति एक निश्चित पथ का अनुसरण करती है लेकिन एक निश्चित समय अंतराल के बाद स्वयं को दोहराती नहीं है, इसलिए यह आवर्ती गति नहीं है।

निष्कर्ष: विकल्प (b) और (c) आवर्ती गति को निरूपित करते हैं। प्रश्न के संदर्भ में, यदि हम केवल एक बार की यात्रा मानते हैं, तो (a) आवर्ती नहीं है। (b) में दोलन स्पष्ट रूप से आवर्ती है। (c) में घूर्णन भी आवर्ती है।

उत्तर: (b) और (c) आवर्ती गति को निरूपित करते हैं।

सरल आवर्त गति (SHM) एक विशेष प्रकार की आवर्ती गति है जिसमें प्रत्यानयन बल (restoring force) विस्थापन के समानुपाती होता है और साम्यावस्था की ओर निर्देशित होता है। इसे $F\; =\; -kx$ द्वारा दर्शाया जाता है। आइए प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें:

1. (a) पृथ्वी की अपने अक्ष के परित: घूर्णन गति: यह एक आवर्ती गति है क्योंकि पृथ्वी लगभग 24 घंटे में एक चक्कर पूरा करती है। हालाँकि, यह सरल आवर्त गति नहीं है क्योंकि इसमें साम्यावस्था की स्थिति के चारों ओर आगे-पीछे होने वाली गति का अभाव है। यह एक स्थिर कोणीय वेग से घूर्णन है।
2. (b) U-नली में दोलायमान पारे के स्तम्भ की गति: जब पारे के स्तम्भ को विस्थापित किया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण और दाब के कारण यह दोलन करता है। यह गति एक निश्चित आवर्तकाल के साथ दोहराई जाती है (आवर्ती गति)। यह पाया गया है कि इस गति पर लगने वाला प्रभावी बल विस्थापन के समानुपाती होता है और साम्यावस्था की ओर निर्देशित होता है, अर्थात $F\; =\; -kx$ के रूप का पालन करता है। इसलिए, यह (लगभग) सरल आवर्त गति है।
3. (c) चिकने वक्रीय कटोरे में बाल बेयरिंग की गति: जब बाल बेयरिंग को कटोरे के निम्नतम बिंदु से थोड़ा ऊपर से छोड़ा जाता है, तो यह कटोरे के अंदर ऊपर-नीचे दोलन करता है। छोटी विस्थापनों के लिए, यह गति लगभग सरल आवर्त गति होती है क्योंकि इस पर लगने वाला पुनर्स्थापना बल विस्थापन के समानुपाती होता है। यह एक आवर्ती गति भी है।
4. (d) बहुपरमाणुक अणु की साम्यावस्था के परित: व्यापक कम्पन: बहुपरमाणुक अणुओं में कई परमाणु होते हैं और वे विभिन्न तरीकों से कंपन कर सकते हैं। इन कंपनों में अक्सर कई प्राकृतिक आवृत्तियाँ शामिल होती हैं, और समग्र गति सरल आवर्त गतियों का एक अध्यारोपण (superposition) होती है। यह गति आवर्ती होती है, लेकिन आमतौर पर यह एक एकल सरल आवर्त गति नहीं होती है।

निष्कर्ष:

• सरल आवर्त गति (SHM): (b) और (c) (छोटी विस्थापनों के लिए)
• आवर्ती परन्तु SHM नहीं: (a)
• आवर्ती गति (जो SHM का अध्यारोपण हो सकती है): (d)

उत्तर:

• लगभग सरल आवर्त गति: (b), (c)
• आवर्ती परन्तु सरल आवर्त गति नहीं: (a)
• आवर्ती गति (सरल आवर्त गति का अध्यारोपण): (d)

आवर्ती गति वह गति है जो एक निश्चित समय अंतराल के बाद स्वयं को दोहराती है। आवर्तकाल (T) वह न्यूनतम समय होता है जिसके बाद गति की पुनरावृत्ति होती है। हमें दिए गए x-t आरेखों का विश्लेषण करना है:

आरेख (a): इस आरेख में, विस्थापन समय के साथ एक सीधी रेखा में बढ़ रहा है। यह एक समान वेग से एक दिशा में गति को दर्शाता है। गति स्वयं को दोहरा नहीं रही है, इसलिए यह आवर्ती गति नहीं है।

आरेख (b): इस आरेख में, विस्थापन समय के साथ एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) पथ का अनुसरण करता है। ग्राफ का पैटर्न एक निश्चित समय के बाद स्वयं को दोहराता है। एक पूर्ण दोलन (एक शिखर से अगले शिखर तक या एक शून्य पारगमन से अगले समान शून्य पारगमन तक) 2 सेकंड में पूरा होता है। इसलिए, यह एक आवर्ती गति है और इसका आवर्तकाल 2 सेकंड है।

आरेख (c): इस आरेख में, कण t = 3s पर x = 0 पर है, लेकिन यह स्थिति अन्य समयों पर दोहराई नहीं जाती है जिससे गति का पूर्ण चक्र बने। गति में पुनरावृत्ति का अभाव है। हालाँकि ग्राफ में कुछ बिंदु दोहराए जा सकते हैं, पूरी गति एक निश्चित अंतराल पर दोहराई नहीं जाती है। इसलिए, यह आवर्ती गति नहीं है।

आरेख (d): इस आरेख में भी, विस्थापन समय के साथ एक ज्यावक्रीय पथ का अनुसरण करता है। ग्राफ का पैटर्न एक निश्चित समय के बाद स्वयं को दोहराता है। एक पूर्ण दोलन 2 सेकंड में पूरा होता है। इसलिए, यह एक आवर्ती गति है और इसका आवर्तकाल 2 सेकंड है।

निष्कर्ष:

• आरेख (a) आवर्ती गति नहीं है।
• आरेख (b) आवर्ती गति है, जिसका आवर्तकाल 2 सेकंड है।
• आरेख (c) आवर्ती गति नहीं है।
• आरेख (d) आवर्ती गति है, जिसका आवर्तकाल 2 सेकंड है।

उत्तर: आरेख (b) और (d) आवर्ती गति का निरूपण करते हैं, और दोनों का आवर्तकाल 2 सेकंड है।

यह प्रश्न समय के विभिन्न फलनों का विश्लेषण करके यह निर्धारित करने के लिए है कि वे सरल आवर्त गति (SHM), केवल आवर्ती गति, या अनावर्ती गति हैं। प्रत्येक आवर्ती गति के लिए आवर्तकाल भी ज्ञात करना है। चूँकि प्रश्न के भाग (a), (b), (c) के लिए विशिष्ट फलन स्रोत में प्रदान नहीं किए गए हैं, हम सामान्य सिद्धांतों के आधार पर उत्तर देंगे।

सरल आवर्त गति (SHM) की पहचान:

एक फलन x(t) सरल आवर्त गति को निरूपित करता है यदि यह निम्न रूप का हो:

x(t) = A \cos(\omega t + \phi) या x(t) = A \sin(\omega t + \phi)

जहाँ:

• $A$ आयाम है (एक धनात्मक स्थिरांक)।
• $\backslash omega$ कोणीय आवृत्ति है (एक धनात्मक स्थिरांक)।
• $\backslash phi$ प्रारंभिक कला (phase) है।

इस प्रकार की गति का आवर्तकाल $T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\}$ होता है।

आवर्ती गति की पहचान:

एक फलन $x(t)$ आवर्ती गति को निरूपित करता है यदि एक धनात्मक स्थिरांक $T$ (आवर्तकाल) मौजूद हो जिसके लिए $x(t\; +\; T)\; =\; x(t)$ सभी $t$ के लिए सत्य हो। SHM आवर्ती गति का एक उपसमुच्चय है। अन्य आवर्ती गतियों में विभिन्न आवृत्तियों के साइन या कोसाइन फलनों का योग शामिल हो सकता है (जो SHM नहीं हो सकता है) या अन्य आवर्ती पैटर्न।

अनावर्ती गति की पहचान:

एक फलन अनावर्ती होता है यदि कोई ऐसा धनात्मक स्थिरांक $T$ मौजूद न हो जिसके लिए $x(t\; +\; T)\; =\; x(t)$ सभी $t$ के लिए सत्य हो। उदाहरण के लिए, $x(t)\; =\; e^\{-t\}$ या $x(t)\; =\; t$ अनावर्ती फलन हैं।

संभावित उदाहरण और विश्लेषण (यदि फलन दिए जाते):

• यदि फलन $x(t)\; =\; 5\; \backslash cos(2t\; +\; \backslash pi/4)$ होता: यह SHM है क्योंकि यह $A\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash phi)$ के रूप का है। यहाँ $A=5$, $\backslash omega=2$, $\backslash phi=\backslash pi/4$। आवर्तकाल $T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{2\}\; =\; \backslash pi$ सेकंड होगा।
• यदि फलन $x(t)\; =\; \backslash sin^2(\backslash omega\; t)$ होता: हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\backslash sin^2(\backslash theta)\; =\; \backslash frac\{1\; -\; \backslash cos(2\backslash theta)\}\{2\}$ का उपयोग कर सकते हैं। तो, $x(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cos(2\backslash omega\; t)$। यह एक आवर्ती गति है क्योंकि इसमें $\backslash cos(2\backslash omega\; t)$ पद है। यह SHM नहीं है क्योंकि इसमें एक स्थिर पद $1/2$ है और यह $A\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash phi)$ के मानक रूप में नहीं है। इसका आवर्तकाल $T\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{2\backslash omega\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash omega\}$ होगा।
• यदि फलन $x(t)\; =\; e^\{-\backslash gamma\; t\}\; \backslash cos(\backslash omega\; t)$ होता (जहाँ $\backslash gamma\; >\; 0$): यह एक अवमंदित दोलन (damped oscillation) है। यद्यपि इसमें $\backslash cos(\backslash omega\; t)$ पद है, आयाम $e^\{-\backslash gamma\; t\}$ समय के साथ घटता है। इसलिए, गति स्वयं को दोहराती नहीं है और यह अनावर्ती गति है।

उत्तर: विशिष्ट फलनों के अभाव में, उपरोक्त विश्लेषण सामान्य दिशानिर्देश प्रदान करता है। प्रश्न के पूर्ण समाधान के लिए दिए गए समय फलनों की आवश्यकता होगी।