कक्षा 11 भौतिकी: समतल में गति NCERT समाधान

भौतिक राशियों को उनकी दिशा के आधार पर सदिश (दिशा सहित) और अदिश (केवल परिमाण) में वर्गीकृत किया जाता है।

अदिश राशियाँ (केवल परिमाण):

• आयतन
• द्रव्यमान
• चाल
• घनत्व
• मोल संख्या
• कोणीय आवृत्ति

सदिश राशियाँ (परिमाण और दिशा):

• त्वरण
• वेग
• विस्थापन
• कोणीय वेग

दी गई सूची में से, अदिश राशियाँ वे हैं जिनमें केवल परिमाण होता है और दिशा नहीं होती है।

• कार्य: कार्य एक अदिश राशि है। यह बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल के बराबर होता है।
• घारा: विद्युत घारा एक अदिश राशि है, हालाँकि इसके प्रवाह की एक दिशा होती है, लेकिन यह सदिश योग के नियमों का पालन नहीं करती है।

अन्य सभी राशियाँ (बल, कोणीय संवेग, रैखिक संवेग, विद्युत क्षेत्र, औसत वेग, चुंबकीय आधूर्ण, आपेक्षिक वेग) सदिश राशियाँ हैं क्योंकि उनमें परिमाण के साथ-साथ दिशा भी होती है।

दी गई सूची में से, हमें उस एकमात्र सदिश राशि की पहचान करनी है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

• आवेग: आवेग एक सदिश राशि है। यह बल के उस प्रभाव को मापता है जो एक छोटे समय अंतराल के लिए कार्य करता है, और इसकी दिशा बल की दिशा में होती है।

अन्य सभी राशियाँ (ताप, दाब, समय, शक्ति, पूरी पथ-लंबाई, ऊर्जा, गुरुत्वीय विभव, घर्षण गुणांक, आवेश) अदिश राशियाँ हैं क्योंकि उनमें केवल परिमाण होता है, दिशा नहीं।

बीजगणितीय संक्रियाओं की अर्थपूर्णता राशियों की प्रकृति (सदिश या अदिश) और उनकी विमाओं पर निर्भर करती है।

(a) दो अदिशों को जोड़ना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है यदि दोनों अदिश राशियों की विमाएँ समान हों। उदाहरण के लिए, दो दूरियों (अदिश) को जोड़ा जा सकता है। समान विमाओं वाली अदिश राशियों को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

(b) एक ही विमाओं के एक सदिश व एक अदिश को जोड़ना: नहीं, यह अर्थपूर्ण नहीं है। एक सदिश राशि में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जबकि अदिश राशि में केवल परिमाण होता है। एक सदिश में एक अदिश को सीधे नहीं जोड़ा जा सकता क्योंकि उनकी प्रकृति भिन्न होती है।

(c) एक सदिश को एक अदिश से गुणा करना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है। जब एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक नई सदिश राशि होती है। इस नई सदिश का परिमाण मूल सदिश के परिमाण और अदिश के परिमाण के गुणनफल के बराबर होता है, और इसकी दिशा मूल सदिश की दिशा के समान होती है (यदि अदिश धनात्मक है) या विपरीत होती है (यदि अदिश ऋणात्मक है)।

उदाहरण: यदि 4 kg द्रव्यमान (अदिश) का एक पिण्ड 20 m/s के वेग (सदिश) से पूर्व दिशा में गति कर रहा है, तो इसका संवेग (सदिश) होगा:

$$p\; =\; mv\; =\; 4\; \backslash text\{\; kg\}\; \backslash times\; (20\; \backslash text\{\; m/s\})\; =\; 80\; \backslash text\{\; kg-m/s\}$$

संवेग की दिशा वेग की दिशा (पूर्व) में होगी।

(d) दो अदिशों का गुणन: हाँ, यह अर्थपूर्ण है। दो अदिश राशियों का गुणनफल एक नई अदिश राशि होती है।

उदाहरण: घनत्व (ρ, अदिश) और आयतन (V, अदिश) का गुणनफल द्रव्यमान (m, अदिश) होता है: $m\; =\; \backslash rho\; \backslash times\; V$.

(e) दो सदिशों को जोड़ना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है यदि दोनों सदिश राशियों की विमाएँ समान हों। सदिशों को सदिश योग के नियमों (जैसे त्रिभुज नियम या समांतर चतुर्भुज नियम) का उपयोग करके जोड़ा जाता है। समान विमाओं वाले सदिशों को ही जोड़ा जा सकता है।

(f) एक सदिश के घटक की उसी सदिश से जोड़ना: हाँ, यह अर्थपूर्ण है। एक सदिश के घटक (जैसे x-घटक, y-घटक) स्वयं सदिश राशियाँ होती हैं (या अदिश यदि केवल परिमाण की बात करें, लेकिन यहाँ सदिश के रूप में माना जा रहा है)। एक सदिश के घटक की उसी सदिश से जोड़ने का अर्थ है कि हम सदिश के विभिन्न घटकों को जोड़ रहे हैं, जो सदिश योग का ही एक रूप है, और यह तभी संभव है जब उनकी विमाएँ समान हों।

(a) किसी सदिश का परिमाण सदैव एक अदिश होता है।

सत्य। किसी सदिश का परिमाण केवल उसकी मात्रा या माप को दर्शाता है, उसकी दिशा को नहीं। उदाहरण के लिए, वेग सदिश का परिमाण चाल (एक अदिश राशि) होता है। इसी प्रकार, विस्थापन सदिश का परिमाण दूरी (एक अदिश राशि) हो सकता है, यदि गति सीधी रेखा में हो। परिमाण हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है, जो एक अदिश राशि की परिभाषा है।

(b) किसी सदिश का प्रत्येक घटक सदैव अदिश होता है।

सत्य। जब हम किसी सदिश को उसके घटकों में वियोजित करते हैं (जैसे कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में x-घटक, y-घटक), तो ये घटक स्वयं अदिश राशियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक सदिश $\backslash vec\{A\}$ के घटक $A\_x$ और $A\_y$ हैं, तो $A\_x$ और $A\_y$ अदिश राशियाँ हैं जो सदिश के क्रमशः x और y दिशाओं में 'मात्रा' को दर्शाती हैं। सदिश $\backslash vec\{A\}$ को $\backslash vec\{A\}\; =\; A\_x\; \backslash hat\{i\}\; +\; A\_y\; \backslash hat\{j\}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $\backslash hat\{i\}$ और $\backslash hat\{j\}$ एकांक सदिश हैं। यहाँ $A\_x$ और $A\_y$ अदिश घटक हैं।