कक्षा 11 गणित: क्रमचय एवं संचय NCERT समाधान

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यह पृष्ठ कक्षा 11 गणित के अध्याय 7, 'क्रमचय एवं संचय' के लिए विस्तृत NCERT समाधान प्रदान करता है। इसमें अंकों और अक्षरों के साथ विभिन्न प्रकार की संख्याओं और कोडों की संख्या की गणना करने के तरीके शामिल हैं, जिसमें अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है या नहीं। समाधान गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करके चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं। ये समाधान छात्रों को क्रमचय और संचय की अवधारणाओं को समझने और परीक्षा के लिए प्रभावी ढंग से तैयारी करने में मदद करेंगे।

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BoardCBSE
ClassClass 11
Subjectगणित
Session2026
LanguageHindi
TypeNCERT Solutions
Chapter7. क्रमचय एवं संचय

Chapter summary

अध्याय 7, 'क्रमचय एवं संचय' के ये NCERT समाधान छात्रों को संख्याओं और कोडों की व्यवस्था की गणना करने के तरीकों को समझने में मदद करते हैं। इसमें पुनरावृत्ति की अनुमति वाले और बिना अनुमति वाले परिदृश्यों को शामिल किया गया है, जो गणना के आधारभूत सिद्धांत पर आधारित हैं। समाधानों में 3-अंकीय संख्याओं के निर्माण और 4-अक्षर कोड बनाने जैसे उदाहरण शामिल हैं, जो इन अवधारणाओं को स्पष्ट करते हैं।

Learning outcomes

  • गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करके क्रमचय की गणना करना सीखें।
  • पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ और बिना पुनरावृत्ति के संख्याओं के निर्माण की गणना करें।
  • सम संख्याओं के निर्माण के लिए शर्तों को लागू करना समझें।
  • वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग करके कोड बनाने की गणना करें।

Topics covered

Paper topics

  • गणना का आधारभूत सिद्धांत
  • क्रमचय
  • पुनरावृत्ति की अनुमति
  • 3-अंकीय संख्याएँ
  • सम संख्याएँ
  • 4-अक्षर कोड
  • अंकों का चयन
  • अक्षरों का चयन

Important topics

  • गणना का आधारभूत सिद्धांत
  • पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ क्रमचय
  • पुनरावृत्ति की अनुमति के बिना क्रमचय
  • सम संख्याओं के निर्माण की शर्तें

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Questions and Solutions

प्रश्न 1

अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि:
  1. अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?
  2. अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?
Solution:

(i) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो:

चूंकि हमारे पास 5 अंक (1, 2, 3, 4, 5) हैं और 3-अंकीय संख्या बनानी है, और अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, इसलिए प्रत्येक स्थान (सैकड़ा, दहाई, इकाई) को भरने के लिए 5 विकल्प उपलब्ध हैं।

गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या होगी:

5 \times 5 \times 5 = 125

अतः, 125 ऐसी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(ii) जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो:

इस स्थिति में, अंकों को दोहराया नहीं जा सकता है। हमारे पास 5 अंक हैं।

इकाई स्थान को भरने के लिए 5 विकल्प हैं (कोई भी अंक 1, 2, 3, 4, 5)।

दहाई स्थान को भरने के लिए 4 विकल्प शेष हैं (क्योंकि एक अंक इकाई स्थान पर प्रयोग हो चुका है)।

सैकड़ा स्थान को भरने के लिए 3 विकल्प शेष हैं (क्योंकि दो अंक इकाई और दहाई स्थान पर प्रयोग हो चुके हैं)।

गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, कुल 3-अंकीय संख्याओं की संख्या होगी:

5 \times 4 \times 3 = 60

अतः, 60 ऐसी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

प्रश्न 2

अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?
Solution:

एक संख्या सम तभी होती है जब उसका इकाई अंक सम हो। दिए गए अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। इनमें से सम अंक 2, 4, और 6 हैं। अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है।

सबसे पहले, हम इकाई स्थान को भरते हैं ताकि संख्या सम हो।

इकाई स्थान भरने के लिए सम अंकों (2, 4, 6) में से 3 विकल्प हैं।

चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है, दहाई स्थान को भरने के लिए सभी 6 अंकों (1, 2, 3, 4, 5, 6) में से कोई भी चुना जा सकता है, इसलिए 6 विकल्प हैं।

इसी प्रकार, सैकड़ा स्थान को भरने के लिए भी सभी 6 अंकों में से कोई भी चुना जा सकता है, इसलिए 6 विकल्प हैं।

गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, कुल 3-अंकीय सम संख्याओं की संख्या होगी:

3 \times 6 \times 6 = 108

अतः, 108 ऐसी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

प्रश्न 3

अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?
Solution:

हमें अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों का उपयोग करके 4 अक्षर के कोड बनाने हैं, और किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं करनी है। इसका मतलब है कि प्रत्येक अक्षर का उपयोग केवल एक बार किया जा सकता है।

पहले स्थान को भरने के लिए 10 अक्षर उपलब्ध हैं।

दूसरे स्थान को भरने के लिए 9 अक्षर शेष हैं (क्योंकि एक अक्षर पहले स्थान पर प्रयोग हो चुका है)।

तीसरे स्थान को भरने के लिए 8 अक्षर शेष हैं (क्योंकि दो अक्षर पहले ही प्रयोग हो चुके हैं)।

चौथे स्थान को भरने के लिए 7 अक्षर शेष हैं (क्योंकि तीन अक्षर पहले ही प्रयोग हो चुके हैं)।

गणना के आधारभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, कुल 4 अक्षर के कोडों की संख्या होगी:

10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040

अतः, 5040 ऐसे 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं।

Common mistakes

  • पुनरावृत्ति की अनुमति को गलत समझना।
  • सम संख्याओं के लिए इकाई स्थान की शर्त को अनदेखा करना।
  • गणना के आधारभूत सिद्धांत को लागू करने में त्रुटियाँ करना।

Revision tips

  • प्रत्येक प्रश्न के लिए पुनरावृत्ति की शर्त पर ध्यान दें।
  • सम संख्याओं के लिए इकाई स्थान की गणना को पहले करें।
  • गणना के आधारभूत सिद्धांत के अनुप्रयोग को समझें।

Practice MCQs

Q1. अंकों 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो?

Q2. अंकों 1, 2, 3, 4, 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?

Q3. अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?

Q4. अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षर के कोड बनाए जा सकते हैं यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती है?

Frequently asked questions

क्रमचय एवं संचय क्या है?

क्रमचय एवं संचय गणित की वे शाखाएँ हैं जो वस्तुओं के चयन और व्यवस्था की संख्या का अध्ययन करती हैं। क्रमचय में व्यवस्था का क्रम महत्वपूर्ण होता है, जबकि संचय में केवल चयन महत्वपूर्ण होता है।

गणना का आधारभूत सिद्धांत क्या है?

यह सिद्धांत बताता है कि यदि कोई घटना 'm' तरीकों से हो सकती है और उसके बाद दूसरी घटना 'n' तरीकों से हो सकती है, तो दोनों घटनाएँ एक साथ 'm × n' तरीकों से हो सकती हैं।

क्या इन समाधानों में पुनरावृत्ति की अनुमति वाले प्रश्न शामिल हैं?

हाँ, इन समाधानों में स्पष्ट रूप से उन प्रश्नों को शामिल किया गया है जहाँ अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, जैसे कि 3-अंकीय संख्याएँ बनाना।

सम संख्याएँ बनाने के लिए क्या शर्त है?

एक संख्या सम तभी होती है जब उसके इकाई स्थान पर कोई सम अंक (0, 2, 4, 6, 8) हो। प्रश्न 2 में, इकाई स्थान के लिए 2, 4, या 6 में से कोई एक चुना जा सकता है।

ये समाधान परीक्षा की तैयारी में कैसे मदद करते हैं?

ये समाधान प्रत्येक प्रश्न के लिए चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जिससे छात्रों को अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने और परीक्षा में समान प्रकार के प्रश्नों को हल करने का आत्मविश्वास प्राप्त करने में मदद मिलती है।

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