NCERT Class 12 Mathematics Ganit-II: Chapter 7 — प्रायिकता (Probability)
This chapter, 'Probability', revisits the concept of probability as a measure of uncertainty in random experiments, building upon the axiomatic approach introduced by A.N. Kolmogorov. It establishes the equivalence between the axiomatic approach for equally likely outcomes and classical probability theory, enabling the calculation of probabilities for events in discrete sample spaces. The chapter delves into the addition rule of probability and introduces conditional probability, exploring how information about one event affects the probability of another. It further elaborates on Bayes' theorem, the multiplication rule of probability, and independent events. The concept of random variables and their probability distributions, including mean and variance, are also covered. Finally, the chapter discusses the binomial distribution, a significant discrete probability distribution. This chapter assumes equally likely outcomes unless stated otherwise, aiding students in their CBSE Class 12 Mathematics studies.
Quick info
| Board | CBSE / NCERT |
|---|---|
| Class | Class 12 |
| Subject | Mathematics |
| Book | Ganit-II |
| Chapter | Chapter 7 — प्रायिकता (Probability) |
| Language | Hindi |
| PDF type | NCERT Textbook |
| Session | CBSE 2026 |
| Reading time | 3 minutes |
| Word count | 598 |
Learning outcomes
- Understand conditional probability and its impact on event likelihood.
- Apply Bayes' theorem to update probabilities based on new information.
- Grasp the concepts of random variables and probability distributions.
- Learn about the mean and variance of probability distributions.
- Study the binomial distribution as a key discrete probability distribution.
Vocabulary
| Word | Meaning |
|---|---|
| प्रायिकता | Probability |
| यादृच्छिक परीक्षण | Random experiment |
| घटना | Event |
| अभिगृहितीय दृष्टिकोण | Axiomatic approach |
| समसंभाव्य परिणाम | Equally likely outcomes |
| सप्रतिबंध प्रायिकता | Conditional probability |
| बेज-प्रमेय | Bayes' theorem |
| यादृच्छिक चर | Random variable |
| प्रायिकता बंटन | Probability distribution |
| माध्य | Mean |
| प्रसरण | Variance |
| द्विपद बंटन | Binomial distribution |
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Practice questions
- तीन न्याय सिक्कों को उछालने के परीक्षण में, कम से कम दो चित प्रकट होने की घटना E है। पहले सिक्के पर पट प्रदर्शित होने की घटना F है। E ∩ F का समुच्चय ज्ञात कीजिए। Answer: E ∩ F = {THH}
- यदि घटना F घटित हो चुकी है, तो घटना E की प्रायिकता क्या है, जब F को प्रतिदर्श समष्टि मानते हुए? (तीन न्याय सिक्के उछालने के उदाहरण में) Answer: 1/4
- प्रायिकता के अभिगृहितीय दृष्टिकोण का प्रतिपादन किसने किया? Answer: ए.एन. कौल्मोग्रोब
Practice MCQs
Q1. तीन न्याय सिक्के उछालने के परीक्षण में, प्रतिदर्श समष्टि S में कितने परिणाम होते हैं?
Explanation: तीन सिक्कों को उछालने पर प्रत्येक सिक्के के लिए 2 संभावित परिणाम (चित या पट) होते हैं। इसलिए, कुल परिणामों की संख्या 2 x 2 x 2 = 8 होती है।
Q2. घटना 'कम से कम दो चित प्रकट होना' (E) के लिए प्रतिदर्श बिंदुओं का समुच्चय क्या है, जब तीन न्याय सिक्के उछाले जाते हैं?
Explanation: कम से कम दो चित का अर्थ है दो चित या तीन चित। इसके संगत परिणाम हैं: HHH, HHT, HTH, THH।
Q3. घटना 'पहले सिक्के पर पट प्रदर्शित होना' (F) के लिए प्रतिदर्श बिंदुओं का समुच्चय क्या है, जब तीन न्याय सिक्के उछाले जाते हैं?
Explanation: पहले सिक्के पर पट प्रदर्शित होने वाले परिणाम वे हैं जिनमें पहला अक्षर 'T' है। ये हैं: THH, THT, TTH, TTT।
Q4. यदि घटना F घटित हो चुकी है, तो घटना E की प्रायिकता क्या है? (तीन न्याय सिक्के उछालने के उदाहरण में, E = 'कम से कम दो चित', F = 'पहले सिक्के पर पट')
Explanation: जब F घटित हो चुका है, तो प्रतिदर्श समष्टि , THT, TTH, TTT} बन जाता है। इसमें से E के अनुकूल परिणाम केवल {THH} है। अतः प्रायिकता 1/4 है।
Q5. प्रायिकता के अभिगृहितीय दृष्टिकोण के अनुसार, किसी घटना की प्रायिकता का मान क्या होता है?
Explanation: अभिगृहितीय दृष्टिकोण के अनुसार, किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है, जिसमें 0 और 1 भी शामिल हैं।
Frequently asked questions
सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?
सप्रतिबंध प्रायिकता किसी घटना A की प्रायिकता है, यह जानते हुए कि कोई अन्य घटना B पहले ही घटित हो चुकी है। इसे P(A|B) से दर्शाया जाता है।
बेज-प्रमेय का उपयोग कब किया जाता है?
बेज-प्रमेय का उपयोग तब किया जाता है जब हमें किसी घटना की पूर्व प्रायिकताओं को नई सूचना के आधार पर अद्यतन (update) करना होता है।
यादृच्छिक चर क्या होता है?
यादृच्छिक चर एक ऐसा चर है जिसके मान किसी यादृच्छिक प्रयोग के परिणामों से निर्धारित होते हैं।
प्रायिकता बंटन क्या दर्शाता है?
प्रायिकता बंटन किसी यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों और उनसे संबंधित प्रायिकताओं को दर्शाता है।
द्विपद बंटन क्या है?
द्विपद बंटन एक असतत प्रायिकता बंटन है जो n स्वतंत्र बर्नोली परीक्षणों में सफलता की संख्या का वर्णन करता है।
क्या इस अध्याय में सभी परिणाम समसंभाव्य माने गए हैं?
हाँ, इस अध्याय में ऐसे परीक्षणों के परिणाम समसंभाव्य माने गए हैं जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।
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NCERT Class 12 Mathematics — Ganit-II — Chapter 7 — प्रायिकता (Probability). Verified by NCERT Help Editorial Team. Reviewed on 29 Jul 2026. Last updated 10 Aug 2026.