कक्षा 11 भौतिकी: द्रव्य के तापीय गुण - NCERT समाधान

हमें निऑन (Ne) और कार्बन डाइऑक्साइड (CO₂) के त्रिक बिंदुओं को केल्विन (K) से सेल्सियस (°C) और फारेनहाइट (°F) में बदलना है।

दिए गए तापमान हैं:

• Ne का त्रिक बिंदु ($K\_1$) = 24.57 K
• CO₂ का त्रिक बिंदु ($K\_2$) = 216.55 K

तापमान रूपांतरण के सूत्र हैं:

• सेल्सियस में: $^\{\backslash circ\}C\; =\; K\; -\; 273.15$
• फारेनहाइट में: $F\; =\; (K\; -\; 273.15)\; \backslash times\; \backslash frac\{9\}\{5\}\; +\; 32$

1. निऑन (Ne) के त्रिक बिंदु का रूपांतरण:

सेल्सियस में:

$t\_1\; =\; K\_1\; -\; 273.15\; =\; 24.57\; -\; 273.15\; =\; -248.58\; \backslash ,^\{\backslash circ\}C$

फारेनहाइट में:

$F\_1\; =\; (-248.58)\; \backslash times\; \backslash frac\{9\}\{5\}\; +\; 32\; =\; -447.444\; +\; 32\; =\; -415.444\; \backslash ,^\{\backslash circ\}F$

2. कार्बन डाइऑक्साइड (CO₂) के त्रिक बिंदु का रूपांतरण:

सेल्सियस में:

$t\_2\; =\; K\_2\; -\; 273.15\; =\; 216.55\; -\; 273.15\; =\; -56.60\; \backslash ,^\{\backslash circ\}C$

फारेनहाइट में:

$F\_2\; =\; (-56.60)\; \backslash times\; \backslash frac\{9\}\{5\}\; +\; 32\; =\; -101.88\; +\; 32\; =\; -69.88\; \backslash ,^\{\backslash circ\}F$

अतः, निऑन का त्रिक बिंदु -248.58 °C या -415.44 °F है, और CO₂ का त्रिक बिंदु -56.60 °C या -69.88 °F है।

हमें दो परम तापमाप (Absolute Temperature Scales), A और B के बीच संबंध ज्ञात करना है। जल का त्रिक बिंदु एक सार्वभौमिक संदर्भ बिंदु है।

दिया गया है:

• पैमाना A पर जल का त्रिक बिंदु = 200 A
• पैमाना B पर जल का त्रिक बिंदु = 350 B

हम जानते हैं कि केल्विन पैमाने पर जल का त्रिक बिंदु 273.16 K होता है। चूँकि ये परम तापमाप हैं, इसलिए जल के त्रिक बिंदु पर दोनों पैमानों का मान केल्विन पैमाने के बराबर होगा।

अतः, हम लिख सकते हैं:

200 \,A = 273.16 \,K और 350 \,B = 273.16 \,K

इन समीकरणों से, हम प्रत्येक पैमाने की एक इकाई (1 A और 1 B) को केल्विन में व्यक्त कर सकते हैं:

1 \,A = \frac{273.16}{200} \,K

1 \,B = \frac{273.16}{350} \,K

अब, यदि T_A पैमाने A पर कोई तापमान है और T_B पैमाने B पर वही तापमान है, तो केल्विन में उनका मान समान होना चाहिए:

T_A \times (1 \,A \text{ in K}) = T_B \times (1 \,B \text{ in K})

\frac{273.16}{200} T_A = \frac{273.16}{350} T_B

स्थिरांक 273.16 को दोनों पक्षों से रद्द करने पर:

\frac{T_A}{200} = \frac{T_B}{350}

अब हम T_A और T_B के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं:

\frac{T_A}{T_B} = \frac{200}{350}

इस भिन्न को सरल करने पर:

\frac{T_A}{T_B} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}

अतः, T_A और T_B के बीच संबंध है:

T_A = \frac{4}{7} T_B

इसका अर्थ है कि पैमाने A पर मापा गया तापमान, पैमाने B पर मापे गए समान तापमान का 4/7 गुना होता है।

यह प्रश्न एक प्रतिरोध तापमापी (Resistance Thermometer) के सिद्धांत पर आधारित है, जहाँ प्रतिरोध (R) तापमान (T) के साथ एक रैखिक संबंध का अनुसरण करता है। सूत्र दिया गया है: $R\; =\; R\_0[1\; +\; \backslash alpha(T\; -\; T\_0)]$

यहाँ:

• R ताप T पर प्रतिरोध है।
• $R\_0$ संदर्भ तापमान $T\_0$ पर प्रतिरोध है।
• $\backslash alpha$ प्रतिरोधकता का ताप गुणांक (temperature coefficient of resistance) है।

हमें दो ज्ञात बिंदु दिए गए हैं:

1. जल का त्रिक बिंदु: $T\_0\; =\; 273.16\; \backslash ,K$, इस पर प्रतिरोध $R\_0\; =\; 101.6\; \backslash ,\backslash Omega$।
2. लैंड का सामान्य संगलन बिंदु: $T\_1\; =\; 600.5\; \backslash ,K$, इस पर प्रतिरोध $R\_1\; =\; 165.5\; \backslash ,\backslash Omega$।

हमें वह तापमान (T) ज्ञात करना है जिस पर प्रतिरोध R = 123.4 \,\Omega है।

सबसे पहले, हम दिए गए दो बिंदुओं का उपयोग करके \alpha का मान ज्ञात करेंगे। हम सूत्र को इस प्रकार लिख सकते हैं:

R = R_0 + R_0 \alpha (T - T_0) या \frac{R - R_0}{R_0 (T - T_0)} = \alpha

बिंदु 1 (त्रिक बिंदु) को संदर्भ बिंदु (T_0, R_0) मानते हुए, हम बिंदु 2 (T_1, R_1) के लिए \alpha की गणना कर सकते हैं:

\alpha = \frac{R_1 - R_0}{R_0 (T_1 - T_0)}

\alpha = \frac{165.5 - 101.6}{101.6 (600.5 - 273.16)}

\alpha = \frac{63.9}{101.6 \times 327.34}

\alpha = \frac{63.9}{33250.944}

\alpha \approx 0.0019217 \,K^{-1}

अब, हम इस \alpha मान और दिए गए प्रतिरोध R = 123.4 \,\Omega का उपयोग करके अज्ञात तापमान T ज्ञात करेंगे। हम सूत्र का उपयोग करेंगे:

R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]

मान रखने पर:

123.4 = 101.6 [1 + 0.0019217 (T - 273.16)]

पहले 101.6 से भाग दें:

\frac{123.4}{101.6} = 1 + 0.0019217 (T - 273.16)

1.214567 = 1 + 0.0019217 (T - 273.16)

1 को बाईं ओर ले जाएँ:

1.214567 - 1 = 0.0019217 (T - 273.16)

0.214567 = 0.0019217 (T - 273.16)

अब 0.0019217 से भाग दें:

\frac{0.214567}{0.0019217} = T - 273.16

111.656 \approx T - 273.16

T ज्ञात करने के लिए 273.16 को दाईं ओर ले जाएँ:

T = 111.656 + 273.16

T \approx 384.816 \,K

अतः, वह ताप जिस पर तापमापी का प्रतिरोध 123.4 Ω है, लगभग 384.82 K है।